Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre a região definida por e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar configurar os limites de integração corretamente e calcular as integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. É um retângulo no plano onde varia de 0 a 1 e de 1 a 2. Com isso, podemos escolher a ordem de integração que for mais conveniente, mas vamos seguir integrando primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas:
Aqui, representa um elemento de área na região .
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Para integrar essa expressão, podemos fazer uma substituição simples.
Passo 5
Vamos usar a substituição , então . Quando , , e quando , . Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integraly=1^2 ln(y + 1y) , dy
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
ln(y + 1y) = ln(y + 1) - ln(y)
Então, a integral fica:
integral1^2 [ln(y + 1) - ln(y)] , dy = integral1^2 ln(y + 1) , dy - integral1^2 ln(y) , dy
Passo 7
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para y ln(y + 1) - integral yy + 1 , dy = y ln(y + 1) - integral (1 - 1y + 1) , dy = y ln(y + 1) - y + ln(y + 1) :
Seja y ln(y) - integral 1 , dy = y ln(y) - y então [y ln(y + 1) - y + ln(y + 1)] - [y ln(y) - y] = y [ln(y + 1) - ln(y)] + ln(y + 1)