Calcule , onde:
c) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre a região definida por e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar configurar os limites de integração corretamente e calcular as integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. É um retângulo no plano onde varia de 0 a 1 e de 1 a 2. Com isso, podemos escolher a ordem de integração que for mais conveniente, mas vamos seguir integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas:
Aqui, representa um elemento de área na região .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Para integrar essa expressão, podemos fazer uma substituição simples.

Passo 5

Vamos usar a substituição , então . Quando , , e quando , . Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é dada por:
Para :
  • Seja então
  • Seja então
Aplicando integração por partes:
Para :
  • Seja então
  • Seja então
Aplicando integração por partes:
Subtraindo os dois resultados:
Avaliando de a :

Resposta

Assim, o valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

a) Existe tal que para todo
b) Para todo existe tal que
c) Para todo , existe tal que
d) Existem distintos tais que
e) Para todos é par.
f) Para todos pares, é par.
g) Para todos , se é par, então e são ambos pares.
Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d)
Resolva a equação diferencial dada por e usando transformada de Laplace.