Calcule integral duplaR f(x, y) d R, onde:
c) f(x, y)=1x+y e R=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre a região definida por e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar configurar os limites de integração corretamente e calcular as integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. É um retângulo no plano onde varia de 0 a 1 e de 1 a 2. Com isso, podemos escolher a ordem de integração que for mais conveniente, mas vamos seguir integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas:
integral duplaR f(x, y) , dA = integraly=1^2 integralx=0^1 1x + y , dx , dy
Aqui, representa um elemento de área na região .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integralx=0^1 1x + y , dx :
Para integrar essa expressão, podemos fazer uma substituição simples.

Passo 5

Vamos usar a substituição integralu=y^y+1 1u , du = ln|u| |y^y+1 = ln(y + 1) - ln(y) = ln(y + 1y) , então . Quando , , e quando , . Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integraly=1^2 ln(y + 1y) , dy
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
ln(y + 1y) = ln(y + 1) - ln(y)
Então, a integral fica:
integral1^2 [ln(y + 1) - ln(y)] , dy = integral1^2 ln(y + 1) , dy - integral1^2 ln(y) , dy

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para y ln(y + 1) - integral yy + 1 , dy = y ln(y + 1) - integral (1 - 1y + 1) , dy = y ln(y + 1) - y + ln(y + 1) :
  • Seja y ln(y) - integral 1 , dy = y ln(y) - y então [y ln(y + 1) - y + ln(y + 1)] - [y ln(y) - y] = y [ln(y + 1) - ln(y)] + ln(y + 1)
  • Seja [2 ln(3) - 2 + ln(3)] - [1 ln(2) - 1 + ln(2)] = 3ln(3) - 2 - 2ln(2) + 1 = 3ln(3) - 2ln(2) -1 então
Aplicando integração por partes:
Para :
  • Seja então
  • Seja então
Aplicando integração por partes:
Subtraindo os dois resultados:
Avaliando de a :

Resposta

Assim, o valor da integral dupla é .

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