Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que integrar a função em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando a gente tem uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição. O denominador é , que podemos factorar assim:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração como soma de frações menores com denominadores simples. Assumimos que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores para eliminar as frações:
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Resolvendo a terceira equação primeiro:
-4A = -20 Rightarrow A = 5
Passo 6
Substituímos 5 + B + C = 6 Rightarrow B + C = 1 na primeira equação:
2B - 2C = 14 Rightarrow B - C = 7
E na segunda equação:
B + C = 1 B - C = 7
Agora, temos:
2B = 8 Rightarrow B = 4
Somando as duas equações:
4 + C = 1 Rightarrow C = -3
Substituindo na equação :
Passo 7
Agora que temos 6x^2 + 14x - 20x(x - 2)(x + 2) = 5x + 4x - 2 - 3x + 2 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais: