Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que integrar a função em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando a gente tem uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição. O denominador é , que podemos factorar assim:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como soma de frações menores com denominadores simples. Assumimos que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores para eliminar as frações:
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Resolvendo a terceira equação primeiro:

Passo 6

Substituímos na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :

Passo 7

Agora que temos , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 8

Integrando cada termo separadamente:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Encontre usando as propriedades e a tabela de Transformadas de Laplace. Observação: descreva quais propriedades foram usadas.
Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d)
a) Existe tal que para todo
b) Para todo existe tal que
c) Para todo , existe tal que
d) Existem distintos tais que
e) Para todos é par.
f) Para todos pares, é par.
g) Para todos , se é par, então e são ambos pares.