integral 6 x^2+14 x-20x^3-4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que integrar a função em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando a gente tem uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição. O denominador é x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) , que podemos factorar assim:
6x^2 + 14x - 20x(x - 2)(x + 2)
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como soma de frações menores com denominadores simples. Assumimos que:
6x^2 + 14x - 20x(x - 2)(x + 2) = Ax + Bx - 2 + Cx + 2
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores para eliminar as frações:
6x^2 + 14x - 20 = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2)
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
A(x^2 - 4) + Bx^2 + 2Bx + Cx^2 - 2Cx
Juntando os termos semelhantes:
(A + B + C)x^2 + (2B - 2C)x - 4A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + B + C = 6 2B - 2C = 14 -4A = -20
Resolvendo a terceira equação primeiro:
-4A = -20 Rightarrow A = 5

Passo 6

Substituímos 5 + B + C = 6 Rightarrow B + C = 1 na primeira equação:
2B - 2C = 14 Rightarrow B - C = 7
E na segunda equação:
B + C = 1 B - C = 7
Agora, temos:
2B = 8 Rightarrow B = 4
Somando as duas equações:
4 + C = 1 Rightarrow C = -3
Substituindo na equação :

Passo 7

Agora que temos 6x^2 + 14x - 20x(x - 2)(x + 2) = 5x + 4x - 2 - 3x + 2 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 8

Integrando cada termo separadamente:
integral ( 5x + 4x - 2 - 3x + 2 ) dx = 5 ln|x| + 4 ln|x - 2| - 3 ln|x + 2| + C

Resposta

A integral 5 ln|x| + 4 ln|x - 2| - 3 ln|x + 2| + C é igual a:

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