a) Existe tal que para todo
b) Para todo existe tal que
c) Para todo , existe tal que
d) Existem distintos tais que
e) Para todos é par.
f) Para todos pares, é par.
g) Para todos , se é par, então e são ambos pares.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na primeira afirmação: a) Existe tal que para todo . Hoje, vamos explorar conceitos de números naturais e inteiros, além de entender o que significa uma desigualdade que vale para todo número inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que os símbolos significam:
  • representa o conjunto dos números naturais (1, 2, 3, …).
  • representa o conjunto dos números inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …).
A afirmação diz que existe um número natural que é menor ou igual ao quadrado de qualquer inteiro .

Passo 3

Vamos analisar o quadrado de inteiros. Se for positivo ou negativo, sempre será positivo ou zero. Porém, se , então .

Passo 4

A afirmação diz que para todo . Ou seja, deve ser menor ou igual a todos os quadrados de inteiros.

Passo 5

O menor valor que pode ter é 0 (quando ). Então deve ser menor ou igual a 0. Mas está nos naturais, que começam em 1. Isso cria um problema porque não há nenhum número natural que seja menor ou igual a 0.

Passo 6

Agora, vamos para a afirmação b) Para todo existe tal que . Aqui, iremos explorar novamente os conjuntos dos inteiros e naturais, mas desta vez a quantificação muda.

Passo 7

A afirmação diz que, para cada número inteiro , podemos encontrar um número natural que seja menor ou igual a .

Passo 8

Observemos que é sempre não negativo. Então, para qualquer inteiro , será pelo menos 0. Podemos escolher , mas como deve ser natural (começando em 1), vamos considerar .

Passo 9

Para , temos , que não é maior ou igual a 1. Isso significa que não podemos escolher para .

Passo 10

No entanto, se permitirmos que faça parte dos naturais (algumas definições incluem 0), então para qualquer , seria verdadeiro. Caso contrário, se deve ser pelo menos 1, a afirmação falha para .

Passo 11

Vamos analisar a afirmação c) Para todo , existe tal que . Aqui, trabalharemos com números reais e naturais, explorando a ideia de números maiores.

Passo 12

A afirmação afirma que, para qualquer número real , sempre podemos encontrar um número natural que seja maior que .

Passo 13

Sabemos que os números naturais são infinitamente grandes; à medida que escolhemos números maiores, podemos sempre encontrar um natural que exceda qualquer real dado.

Passo 14

Por exemplo, se , podemos escolher , que é um número natural maior que .

Passo 15

Isso funciona para qualquer , independentemente de quão grande ou pequeno seja, positivo ou negativo.

Passo 16

Vamos para a afirmação d) Existem distintos tais que . Aqui, vamos explorar os números naturais e operações de adição.

Passo 17

A afirmação diz que há dois números naturais diferentes que, quando somados, resultam em zero.

Passo 18

Os números naturais começam em 1 (ou 0, dependendo da definição), mas sua soma sempre será pelo menos 1, já que estamos somando dois números distintos e positivos.

Passo 19

Mesmo se considerarmos que está incluído nos naturais, a única maneira de é se ambos forem zero. Mas a afirmação pede que sejam distintos, o que não é possível.

Passo 20

Agora, vamos para a afirmação e) Para todos , é par. Aqui, vamos explorar a paridade de somas de números naturais.

Passo 21

A afirmação diz que, independentemente de quais números naturais e escolhemos, sua soma sempre será um número par.

Passo 22

Lembramos que:
  • Um número par é divisível por 2.
  • A soma de dois números pares é par.
  • A soma de dois números ímpares também é par.
  • A soma de um par com um ímpar é ímpar.

Passo 23

Se escolhermos e , temos , que é ímpar. Isso já mostra que nem toda soma de naturais é par.

Passo 24

Vamos analisar a afirmação f) Para todos pares, é par. Aqui, focamos na adição de números pares.

Passo 25

A afirmação diz que, se e são números naturais pares, então sua soma também é par.

Passo 26

Sabemos que números pares podem ser representados como , onde é um inteiro. Então, e .

Passo 27

Somando , que é claramente múltiplo de 2, ou seja, par.

Passo 28

Finalmente, vamos para a afirmação g) Para todos , se é par, então e são ambos pares. Aqui, exploramos a relação entre a paridade da soma e dos termos individuais.

Passo 29

A afirmação afirma que, se a soma de e é par, então necessariamente ambos devem ser pares.

Passo 30

Sabemos que:
  • Par + Par = Par
  • Ímpar + Ímpar = Par
  • Par + Ímpar = Ímpar

Passo 31

Isso significa que a soma ser par pode ocorrer de duas maneiras: ambos pares ou ambos ímpares. A afirmação apenas considera a primeira possibilidade.

Resposta

A afirmação g) é falsa. Se é par, ambos podem ser pares ou ambos podem ser ímpares.

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Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d)
Calcule , onde:
c) e
Resolva a equação diferencial dada por e usando transformada de Laplace.