a) Existe
tal que
para todo
b) Para todo
existe
tal que
c) Para todo
, existe
tal que
d) Existem
distintos tais que
e) Para todos
é par.
f) Para todos
pares,
é par.
g) Para todos
, se
é par, então
e
são ambos pares.
b) Para todo
c) Para todo
d) Existem
e) Para todos
f) Para todos
g) Para todos
Passo 1
Vamos dar uma olhada na primeira afirmação: a) Existe
tal que
para todo
. Hoje, vamos explorar conceitos de números naturais e inteiros, além de entender o que significa uma desigualdade que vale para todo número inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que os símbolos significam:
-
representa o conjunto dos números naturais (1, 2, 3, …). -
representa o conjunto dos números inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …).
A afirmação diz que existe um número natural
que é menor ou igual ao quadrado de qualquer inteiro
.
Passo 3
Vamos analisar o quadrado de inteiros. Se
for positivo ou negativo,
sempre será positivo ou zero. Porém, se
, então
.
Passo 4
A afirmação diz que
para todo
. Ou seja,
deve ser menor ou igual a todos os quadrados de inteiros.
Passo 5
O menor valor que
pode ter é 0 (quando
). Então
deve ser menor ou igual a 0. Mas
está nos naturais, que começam em 1. Isso cria um problema porque não há nenhum número natural que seja menor ou igual a 0.
Passo 6
Agora, vamos para a afirmação b) Para todo
existe
tal que
. Aqui, iremos explorar novamente os conjuntos dos inteiros e naturais, mas desta vez a quantificação muda.
Passo 7
A afirmação diz que, para cada número inteiro
, podemos encontrar um número natural
que seja menor ou igual a
.
Passo 8
Observemos que
é sempre não negativo. Então, para qualquer inteiro
,
será pelo menos 0. Podemos escolher
, mas como
deve ser natural (começando em 1), vamos considerar
.
Passo 9
Para
, temos
, que não é maior ou igual a 1. Isso significa que não podemos escolher
para
.
Passo 10
No entanto, se permitirmos que
faça parte dos naturais (algumas definições incluem 0), então para qualquer
,
seria verdadeiro. Caso contrário, se
deve ser pelo menos 1, a afirmação falha para
.
Passo 11
Vamos analisar a afirmação c) Para todo
, existe
tal que
. Aqui, trabalharemos com números reais e naturais, explorando a ideia de números maiores.
Passo 12
A afirmação afirma que, para qualquer número real
, sempre podemos encontrar um número natural
que seja maior que
.
Passo 13
Sabemos que os números naturais são infinitamente grandes; à medida que escolhemos números maiores, podemos sempre encontrar um natural que exceda qualquer real dado.
Passo 14
Por exemplo, se
, podemos escolher
, que é um número natural maior que
.
Passo 15
Isso funciona para qualquer
, independentemente de quão grande ou pequeno seja, positivo ou negativo.
Passo 16
Vamos para a afirmação d) Existem
distintos tais que
. Aqui, vamos explorar os números naturais e operações de adição.
Passo 17
A afirmação diz que há dois números naturais diferentes que, quando somados, resultam em zero.
Passo 18
Os números naturais começam em 1 (ou 0, dependendo da definição), mas sua soma sempre será pelo menos 1, já que estamos somando dois números distintos e positivos.
Passo 19
Mesmo se considerarmos que
está incluído nos naturais, a única maneira de
é se ambos forem zero. Mas a afirmação pede que sejam distintos, o que não é possível.
Passo 20
Agora, vamos para a afirmação e) Para todos
,
é par. Aqui, vamos explorar a paridade de somas de números naturais.
Passo 21
A afirmação diz que, independentemente de quais números naturais
e
escolhemos, sua soma sempre será um número par.
Passo 22
Lembramos que:
- Um número par é divisível por 2.
- A soma de dois números pares é par.
- A soma de dois números ímpares também é par.
- A soma de um par com um ímpar é ímpar.
Passo 23
Se escolhermos
e
, temos
, que é ímpar. Isso já mostra que nem toda soma de naturais é par.
Passo 24
Vamos analisar a afirmação f) Para todos
pares,
é par. Aqui, focamos na adição de números pares.
Passo 25
A afirmação diz que, se
e
são números naturais pares, então sua soma também é par.
Passo 26
Sabemos que números pares podem ser representados como
, onde
é um inteiro. Então,
e
.
Passo 27
Somando
, que é claramente múltiplo de 2, ou seja, par.
Passo 28
Finalmente, vamos para a afirmação g) Para todos
, se
é par, então
e
são ambos pares. Aqui, exploramos a relação entre a paridade da soma e dos termos individuais.
Passo 29
A afirmação afirma que, se a soma de
e
é par, então necessariamente ambos devem ser pares.
Passo 30
Sabemos que:
- Par + Par = Par
- Ímpar + Ímpar = Par
- Par + Ímpar = Ímpar
Passo 31
Isso significa que a soma ser par pode ocorrer de duas maneiras: ambos pares ou ambos ímpares. A afirmação apenas considera a primeira possibilidade.
Resposta
A afirmação g) é falsa. Se
é par, ambos podem ser pares ou ambos podem ser ímpares.
Exercícios relacionados
Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d)
d)
Calcule
, onde:
c) e
c)
Resolva a equação diferencial dada por
e
usando transformada de Laplace.