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usando as propriedades e a tabela de Transformadas de Laplace. Observação: descreva quais propriedades foram usadas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos encontrar a Transformada de Laplace dela, ou seja,
. Para isso, vamos usar propriedades da Transformada de Laplace e uma tabela de transformadas conhecidas. Vamos precisar expandir a função e aplicar propriedades como a linearidade e a transformada de funções exponenciais e polinomiais multiplicadas por exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão
. Para isso, usamos a fórmula do binômio de Newton:
Aqui,
e
. Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace a cada termo individualmente. A Transformada de Laplace é linear, então:
Vamos calcular cada transformada separadamente usando a tabela de Transformadas de Laplace e propriedades conhecidas.
Passo 4
Primeiro termo:
Sabemos que:
Passo 5
Segundo termo:
Aqui, usamos a propriedade da multiplicação por exponencial:
No nosso caso,
, então:
Multiplicando por 3:
Passo 6
Terceiro termo:
Novamente, usando a mesma propriedade:
Aqui,
e
, então:
Multiplicando por 3:
Passo 7
Quarto termo:
Usando a mesma propriedade:
Passo 8
Agora, juntando todos os termos transformados:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
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Calcule
, onde:
b) e
b)
Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d)
d)