Encontre usando as propriedades e a tabela de Transformadas de Laplace. Observação: descreva quais propriedades foram usadas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função e precisamos encontrar a Transformada de Laplace dela, ou seja, . Para isso, vamos usar propriedades da Transformada de Laplace e uma tabela de transformadas conhecidas. Vamos precisar expandir a função e aplicar propriedades como a linearidade e a transformada de funções exponenciais e polinomiais multiplicadas por exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão . Para isso, usamos a fórmula do binômio de Newton:
Aqui, e . Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace a cada termo individualmente. A Transformada de Laplace é linear, então:
Vamos calcular cada transformada separadamente usando a tabela de Transformadas de Laplace e propriedades conhecidas.

Passo 4

Primeiro termo:
Sabemos que:

Passo 5

Segundo termo:
Aqui, usamos a propriedade da multiplicação por exponencial:
No nosso caso, , então:
Multiplicando por 3:

Passo 6

Terceiro termo:
Novamente, usando a mesma propriedade:
Aqui, e , então:
Multiplicando por 3:

Passo 7

Quarto termo:
Usando a mesma propriedade:

Passo 8

Agora, juntando todos os termos transformados:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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Calcule , onde:
b) e
Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d)