Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
a) integral0^2 integralx^2 e^y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla integral0^2 integralx^2 e^y^2 , dy , dx. Isso envolve cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral interna: integral e^y^2 , dy. Essa parada não tem uma antiderivada que a gente conheça de forma direta, ou seja, não conseguimos escrever uma função primitiva simples para e^y^2. Então, pra facilitar, o melhor caminho é inverter a ordem das integrais.

Passo 3

Vamos visualizar a região de integração. Originalmente, x vai de 0 até 2, e para cada x, y vai de x até 2. Se a gente desenhar isso no plano xy, a região é um triângulo onde 0 <= x <= 2 e x <= y <= 2.

Passo 4

Ao inverter a ordem de integração, a gente fixa o y primeiro. Então, y vai de 0 até 2, e para cada y, x vai de 0 até y. Assim, a integral fica:
integral0^2 integral0^y e^y^2 , dx , dy

Passo 5

Agora, observa que dentro dessa nova integral, e^y^2 não depende de x, então a gente pode tirar ele de fora da integral interna:
integral0^2 e^y^2 ( integral0^y dx ) dy
A integral integral0^y dx é simplesmente y. Então, ficamos com:
integral0^2 e^y^2 cdot y , dy
Agora, pra resolver integral y e^y^2 , dy, a gente usa substituição. Seja u = y^2, então du = 2y , dy, ou seja, y , dy = du2.
Substituindo, temos:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^y^2 + C

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada de y = 0 até y = 2:
12 e^(2)^2 - 12 e^(0)^2 = 12 e^4 - 12 e^0 = e^4 - 12

Resposta

A integral vale dfrace^4 - 12.

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