Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
. Isso envolve cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral interna:
. Essa parada não tem uma antiderivada que a gente conheça de forma direta, ou seja, não conseguimos escrever uma função primitiva simples para
. Então, pra facilitar, o melhor caminho é inverter a ordem das integrais.
Passo 3
Vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
vai de 0 até 2, e para cada
,
vai de
até 2. Se a gente desenhar isso no plano xy, a região é um triângulo onde
e
.
Passo 4
Ao inverter a ordem de integração, a gente fixa o
primeiro. Então,
vai de 0 até 2, e para cada
,
vai de 0 até
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, observa que dentro dessa nova integral,
não depende de
, então a gente pode tirar ele de fora da integral interna:
A integral
é simplesmente
. Então, ficamos com:
Agora, pra resolver
, a gente usa substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo, temos:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada de
até
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
a) A soma dos
primeiros números pares é igual a
.
b) A soma dos primeiros números ímpares é igual a
.
b) A soma dos