Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla . Isso envolve cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral interna: . Essa parada não tem uma antiderivada que a gente conheça de forma direta, ou seja, não conseguimos escrever uma função primitiva simples para . Então, pra facilitar, o melhor caminho é inverter a ordem das integrais.

Passo 3

Vamos visualizar a região de integração. Originalmente, vai de 0 até 2, e para cada , vai de até 2. Se a gente desenhar isso no plano xy, a região é um triângulo onde e .

Passo 4

Ao inverter a ordem de integração, a gente fixa o primeiro. Então, vai de 0 até 2, e para cada , vai de 0 até . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, observa que dentro dessa nova integral, não depende de , então a gente pode tirar ele de fora da integral interna:
A integral é simplesmente . Então, ficamos com:
Agora, pra resolver , a gente usa substituição. Seja , então , ou seja, .
Substituindo, temos:

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada de até :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
a)
a) A soma dos primeiros números pares é igual a .
b) A soma dos primeiros números ímpares é igual a .