a) A soma dos n primeiros números pares é igual a n(n+1).
b) A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2.

Passo 1

Vamos resolver a parte a). O enunciado nos diz que a soma dos n primeiros números pares é igual a n(n+1). Primeiro, precisamos entender o que são números pares e identificar quais são os primeiros n deles.

Passo 2

Os números pares são aqueles que são divisíveis por 2. Então, os primeiros n números pares são: 2, 4, 6, …, .

Passo 3

Agora, vamos somar esses números: .

Passo 4

Podemos fatorar o 2 da soma: .

Passo 5

A soma dos números de 1 a n é conhecida e é igual a .

Passo 6

Substituindo na expressão: .

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte b). O enunciado afirma que a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2. Primeiro, precisamos identificar quais são os primeiros n números ímpares.

Passo 8

Os números ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2. Então, os primeiros n números ímpares são: 1, 3, 5, …, .

Passo 9

Vamos somar esses números: .

Passo 10

Observamos que essa soma pode ser representada como uma série aritmética com primeiro termo 1 e diferença comum 2.

Passo 11

A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma série aritmética é , onde é o primeiro termo e é o último termo.

Passo 12

Substituindo os valores: .

Resposta

A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2.

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