integral cos theta d thetasen^2 theta+3 sen theta-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de . Estamos trabalhando com cálculo integral, e para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador é um polinômio em . Vamos simplificar isso para facilitar a integração. Vamos chamar . Assim, , que é exatamente o numerador da nossa integral.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral cos theta , dthetasin^2 theta + 3 sin theta - 4 = integral duu^2 + 3u - 4

Passo 4

Agora, precisamos fatorar o denominador u^2 + 3u - 4 = (u + 4)(u - 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, podemos escrever:

Passo 5

Com o denominador fatorado, nossa integral fica:
integral du(u + 4)(u - 1)
Para resolver essa integral, vamos usar frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(u + 4)(u - 1) = Au + 4 + Bu - 1 e tais que:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(u - 1) + B(u + 4) , temos:
1 = A(1 - 1) + B(1 + 4) Rightarrow 1 = 0 + 5B Rightarrow B = 15
Vamos resolver para 1 = A(-4 - 1) + B(-4 + 4) Rightarrow 1 = -5A + 0 Rightarrow A = -15 e . Escolhemos valores de que simplificam a equação.
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 7

Agora que temos 1(u + 4)(u - 1) = -15cdot1u + 4 + 15cdot1u - 1 e , substituímos na expressão das frações parciais:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( -15 cdot 1u + 4 + 15 cdot 1u - 1 ) du = -15 ln|u + 4| + 15 ln|u - 1| + C

Passo 9

Finalmente, substituímos -15 ln|sin theta + 4| + 15 ln|sin theta - 1| + C de volta na expressão:
15 ln|sin theta - 1sin theta + 4| + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados