Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de . Estamos trabalhando com cálculo integral, e para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador é um polinômio em . Vamos simplificar isso para facilitar a integração. Vamos chamar . Assim, , que é exatamente o numerador da nossa integral.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, precisamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, podemos escrever:

Passo 5

Com o denominador fatorado, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Vamos resolver para e . Escolhemos valores de que simplificam a equação.
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 7

Agora que temos e , substituímos na expressão das frações parciais:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Finalmente, substituímos de volta na expressão:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
a)
Calcule as seguintes integrais:
a)
a) A soma dos primeiros números pares é igual a .
b) A soma dos primeiros números ímpares é igual a .
Calcule as seguintes integrais:
b)