Calcule cada uma das integrais a seguir.
b) integral 3 xx^2+4 d x;

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de frações racionais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma parte da integral para substituir por uma nova variável u = x^2 + 4 . Olhando para o denominador , fazemos a substituição:
Isso simplifica nossa integral para facilitar o cálculo.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para encontrar x , dx = du2 :
Isolando :
Agora, vemos que está presente na nossa integral original. Podemos reescrever:

Passo 4

Substituindo integral 3xx^2 + 4 , dx = integral 3u cdot du2 e = 32 integral 1u , du na integral original:
Simplificando os constantes:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
32 integral 1u , du = 32 ln|u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 32 ln|x^2 + 4| + C de volta para :

Resposta

32 ln(x^2 + 4) + C

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