Calcule cada uma das integrais a seguir.
i) integral sen(2 t)6-3 cos (2 t) d t;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral
Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica e simplificação de expressões.

Passo 2

Vamos simplificar o denominador da fração. Observe que 6 - 3 cos(2t) = 3 (2 - cos(2t)) pode ser fatorado:
integral sen(2 t)3 (2 - cos(2 t)) , dt = 13 integral sen(2 t)2 - cos(2 t) , dt
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 2 - cos(2t)
Então, a derivada de dudt = 2 sen(2t) em relação a sen(2t) , dt = du2 é:
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo 13 integral sen(2 t)2 - cos(2 t) , dt = 13 integral du2u = 16 integral 1u , du e na integral, temos:

Passo 5

A integral de 16 integral 1u , du = 16 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo 16 ln|2 - cos(2t)| + C :

Resposta

A integral é igual a
16 ln|2 - cos(2t)| + C

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