Calcule cada uma das integrais a seguir.
d) integral cos (t)1+2 sen(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de substituição, que facilita a integração simplificando a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Vamos definir:
u = 1 + 2 sin(t)
Agora, precisamos calcular a derivada de dudt = 2 cos(t) em relação a du = 2 cos(t) , dt para substituir cos(t) , dt = du2 na integral:
Isso implica que:
Ou rearranjando:

Passo 3

Substituindo integral cos(t)1 + 2 sin(t) , dt = integral du2u = 12 integral duu e 12 integral duu = 12 ln|u| + C na integral original, temos:
A integral de em relação a é o logaritmo natural de . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, voltamos à variável original 12 ln|1 + 2 sin(t)| + C substituindo :

Resposta

A integral 12 ln|1 + 2 sin(t)| + C é igual a:

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