Calcule cada uma das integrais a seguir.
f) integral 2 x^3x^2-4 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, observe que o grau do polinômio no numerador (que é 3) é maior que o do denominador (que é 2). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar. Vamos dividir por .

Passo 3

Vamos realizar a divisão:
2x^3x^2 - 4
Dividindo 2x times (x^2 - 4) = 2x^3 - 8x por (2x^3) - (2x^3 - 8x) = 8x , obtemos 2x^3x^2 - 4 = 2x + 8xx^2 - 4 . Multiplicamos por :
Agora, subtraímos esse resultado do numerador original:
Então, temos:

Passo 4

Agora que simplificamos a fração, podemos reescrever a integral original:
integral 2x^3x^2 - 4 dx = integral (2x + 8xx^2 - 4) dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral 2x , dx + integral 8xx^2 - 4 dx

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral 2x , dx = x^2 + C1
Segunda integral:
Para integral 8xx^2 - 4 dx = 8 integral x , dxu = 8 times 12 integral duu = 4 ln|u| + C2 = 4 ln|x^2 - 4| + C2 , vamos usar a substituição . Então, , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais:
x^2 + 4 ln|x^2 - 4| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de x^2 + 4 ln|x^2 - 4| + C em relação a é:

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