Calcule cada uma das integrais a seguir.
c) integral 3 x^25 x^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse tipo de integral é uma fração polinomial, então vamos usar a técnica de substituição para resolver. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Vamos definir:
u = 5x^3 - 1
Agora, vamos derivar dudx = 15x^2 em relação a du = 15x^2 , dx para encontrar :
Ou seja,

Passo 3

Observe que no numerador da nossa integral temos 3x^2 , dx = du5 . Vamos relacionar isso com o du = 15x^2 , dx Rightarrow du5 = 3x^2 , dx que encontramos:
Isso porque:

Passo 4

Agora, substituímos na integral original usando integral 3x^25x^3 - 1 , dx = integral du5u = 15 integral duu :
A integral é um caso padrão que sabemos como resolver.

Passo 5

Integrando, temos:
15 integral duu = 15 ln|u| + C
Agora, substituímos 15 ln|5x^3 - 1| + C de volta pela expressão original:

Resposta

integral 3x^25x^3 - 1 , dx = 15 ln|5x^3 - 1| + C

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