Calcule cada uma das integrais a seguir.
e) integral cot (5 x)+csc (5 x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais de funções trigonométricas, especificamente cotangente e cossecante. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das integrais básicas dessas funções e usar algumas propriedades de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
integral cot(5x) , dx + integral csc(5x) , dx
Isso facilita o processo, pois podemos resolver cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos lembrar das fórmulas de integração para cotangente e cossecante:
integral cot(u) , du = ln|sin(u)| + C
integral csc(u) , du = -ln|csc(u) + cot(u)| + C
Aqui, , então precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 4

Vamos substituir integral cot(5x) , dx = 15 ln|sin(5x)| + C em cada integral:
integral csc(5x) , dx = -15 ln|csc(5x) + cot(5x)| + C

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
15 ln|sin(5x)| - 15 ln|csc(5x) + cot(5x)| + C
Podemos simplificar essa expressão combinando os logaritmos:
15 ( ln|sin(5x)| - ln|csc(5x) + cot(5x)| ) + C

Resposta

A integral de 15 ln|sin(5x)csc(5x) + cot(5x)| + C é:
onde é a constante de integração.

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