Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
e) f(x) = ln(raiz(4 + 5*x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e radicais, então vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar essa função. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Lembre-se que é o mesmo que . Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar ainda mais:
Isso vai facilitar nossa derivação.

Passo 4

Vamos derivar . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
  1. Derivada da parte externa em relação a :
  1. Derivada da parte interna em relação a :
  1. Multiplicando as duas derivadas:

Resposta

A derivada da função é:

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