Calcule cada integral abaixo utilizando o método das frações parciais
© onde

Passo 1

Vamos calcular a integral usando o método das frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral e especificamente com integração por frações parciais. Para resolver, precisamos fatorar o denominador e expressar a fração em termos de frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Lembrando da diferença de quadrados, que diz que . Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Para encontrar e , podemos escolher valores específicos de que simplifiquem a equação.
Primeiro, escolha :
Em seguida, escolha :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 7

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
Essas integrais são logaritmos naturais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
d) sobre um objeto que se move sobre a hélice , .
Determine o comprimento da curva
Exercício 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
a) , em que C é o círculo de raio 1 e centro na origem, percorrido no sentido anti-horário.
Seja
Mostre que é derivável em e calcule