Calcule cada integral abaixo utilizando o método das frações parciais
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onde
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Passo 1
Vamos calcular a integral
usando o método das frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral e especificamente com integração por frações parciais. Para resolver, precisamos fatorar o denominador e expressar a fração em termos de frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Lembrando da diferença de quadrados, que diz que
. Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Para encontrar
e
, podemos escolher valores específicos de
que simplifiquem a equação.
Primeiro, escolha
:
Em seguida, escolha
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 7
Finalmente, integramos cada termo separadamente:
Essas integrais são logaritmos naturais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
d) sobre um objeto que se move sobre a hélice
,
.
d)
Determine o comprimento da curva
Exercício 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
a) , em que C é o círculo de raio 1 e centro na origem, percorrido no sentido anti-horário.
a)
Seja
Mostre que é derivável em
e calcule
Mostre que