Calcule cada integral abaixo utilizando o método das frações parciais
© integral 1x^2-a^2 d x onde a neq 0

Passo 1

Vamos calcular a integral usando o método das frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral e especificamente com integração por frações parciais. Para resolver, precisamos fatorar o denominador e expressar a fração em termos de frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1x^2 - a^2 = 1(x - a)(x + a) . Lembrando da diferença de quadrados, que diz que . Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
1(x - a)(x + a) = Ax - a + Bx + a
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x + a) + B(x - a) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Para encontrar 1 = A(a + a) + B(a - a) Rightarrow 1 = 2aA Rightarrow A = 12a e 1 = A(-a + a) + B(-a - a) Rightarrow 1 = -2aB Rightarrow B = -12a , podemos escolher valores específicos de que simplifiquem a equação.
Primeiro, escolha :
Em seguida, escolha :

Passo 6

Agora que temos 1(x - a)(x + a) = 12a cdot 1x - a - 12a cdot 1x + a e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 7

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
integral 1x^2 - a^2 , dx = 12a integral 1x - a , dx - 12a integral 1x + a , dx
Essas integrais são logaritmos naturais:
= 12a ln|x - a| - 12a ln|x + a| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 12a ln|x - a| - 12a ln|x + a| + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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