Seja g(x) = { x² + 2, x < 1; 2x + 2, x ≥ 0 }
Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g'(1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função definida por partes:
Nosso objetivo é mostrar que é derivável no ponto e calcular . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites, já que precisamos verificar se a derivada pela esquerda e pela direita são iguais no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, a derivada existe nesse ponto se os limites das derivadas pela esquerda e pela direita forem iguais. Ou seja, precisamos calcular:
Se esses dois limites forem iguais, então é derivável em , e o valor comum desses limites será .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de para :
A derivada de é , e a derivada de uma constante é zero. Então:
Agora, calculamos o limite pela esquerda:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de para :
A derivada de é , e a derivada de uma constante é zero. Então:
Agora, calculamos o limite pela direita:

Passo 5

Com os dois limites calculados:
Como os limites são iguais, podemos concluir que é derivável em .

Resposta

A função é derivável em e .

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