Seja
Mostre que
é derivável em
e calcule
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função definida por partes:
Nosso objetivo é mostrar que
é derivável no ponto
e calcular
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites, já que precisamos verificar se a derivada pela esquerda e pela direita são iguais no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, a derivada existe nesse ponto se os limites das derivadas pela esquerda e pela direita forem iguais. Ou seja, precisamos calcular:
Se esses dois limites forem iguais, então
é derivável em
, e o valor comum desses limites será
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
para
:
A derivada de
é
, e a derivada de uma constante é zero. Então:
Agora, calculamos o limite pela esquerda:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
para
:
A derivada de
é
, e a derivada de uma constante é zero. Então:
Agora, calculamos o limite pela direita:
Passo 5
Com os dois limites calculados:
Como os limites são iguais, podemos concluir que
é derivável em
.
Resposta
A função
é derivável em
e
.