Exercício 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
a)
, em que C é o círculo de raio 1 e centro na origem, percorrido no sentido anti-horário.
a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício. Precisamos calcular a integral de linha ao longo de uma curva
, que é um círculo de raio 1 centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral de linha. A integral dada é:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região delimitada pela curva
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, subtraímos
de
:
Isso simplifica a integral dupla para:
Resposta
A integral dupla de
sobre a região
(que é um círculo de raio 1) é igual a
vezes a área do círculo. A área de um círculo de raio 1 é
, então:
Portanto, a integral de linha é igual a
.