Exercício 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
a) , em que C é o círculo de raio 1 e centro na origem, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício. Precisamos calcular a integral de linha ao longo de uma curva , que é um círculo de raio 1 centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral de linha. A integral dada é:
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região delimitada pela curva . Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, subtraímos de :
Isso simplifica a integral dupla para:

Resposta

A integral dupla de sobre a região (que é um círculo de raio 1) é igual a vezes a área do círculo. A área de um círculo de raio 1 é , então:
Portanto, a integral de linha é igual a .

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© onde
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d) sobre um objeto que se move sobre a hélice , .
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05)