Exercício 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
a) ointC(y^2-7 y) d x+(2 x y+2 x) d y, em que C é o círculo de raio 1 e centro na origem, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício. Precisamos calcular a integral de linha ao longo de uma curva , que é um círculo de raio 1 centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral de linha. A integral dada é:
ointC(y^2-7 y) dx + (2 x y + 2 x) dy
Aqui, podemos ver que:
P(x, y) = y^2 - 7y
Q(x, y) = 2xy + 2x

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde é a região delimitada pela curva . Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (2xy + 2x) = 2y + 2
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2 - 7y) = 2y - 7

Passo 5

Agora, subtraímos partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2y + 2) - (2y - 7) = 2y + 2 - 2y + 7 = 9 de integral duplaD 9 , dx , dy :
Isso simplifica a integral dupla para:

Resposta

A integral dupla de 9 times pi = 9pi sobre a região (que é um círculo de raio 1) é igual a vezes a área do círculo. A área de um círculo de raio 1 é , então:
Portanto, a integral de linha é igual a .

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