Calcule cada integral.
integral 3 t-2t+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de 3t - 2t + 1 em relação a t. Isso envolve Álgebra e Cálculo, especificamente a técnica de divisão polinomial ou decomposição em frações simples para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 3t - 2t + 1. Para isso, fazemos uma divisão polinomial onde dividimos o numerador pelo denominador.

Passo 3

Dividindo 3t - 2 por t + 1:
  • Quantas vezes t + 1 cabe em 3t? Resposta: 3 vezes.
  • Multiplicamos 3 por t + 1 e subtraímos do numerador: 3t - 2 - (3t + 3) = -5
Então, 3t - 2t + 1 = 3 + -5t + 1.

Passo 4

Agora, a integral fica mais simples:
integral (3 - 5t + 1) dt
Podemos separar a integral em duas partes:
integral 3, dt - integral 5t + 1, dt

Passo 5

Integrando cada parte:
  1. integral 3, dt = 3t + C1
  2. integral 5t + 1, dt = 5 ln|t + 1| + C2
Como estamos integrando uma função composta, podemos combinar as constantes de integração em uma só.

Passo 6

Juntando os dois resultados:
3t - 5 ln|t + 1| + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de 3t - 2t + 1 em relação a t é:
3t - 5 ln|t + 1| + C

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