Quais das seguintes integrais são impróprias? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais integrais são impróprias e o porquê. A integral que vamos analisar é:
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma integral imprópria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Existem dois tipos principais:
- Limites infinitos: Quando o intervalo de integração vai até o infinito, como em nosso caso.
- Integrando com descontinuidades: Quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade (como uma assíntota vertical) dentro do intervalo de integração.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa integral:
Aqui, o limite superior da integral é infinito (
Passo 4
Além disso, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando:
. Essa função é contínua em todo o intervalo
, ou seja, não apresenta descontinuidades ou assíntotas verticais. Portanto, a única razão para a integral ser imprópria é o limite infinito.
Passo 5
Para resolver essa integral, sabemos que ela converge e é conhecida como a integral de Gauss, cujo valor é:
Isso confirma que a integral é imprópria devido ao limite infinito, mas ainda assim possui um valor finito.
Resposta
A integral
é uma integral imprópria porque o limite superior de integração é infinito.
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Calcule cada integral.
Escreva a forma da decomposição em frações parciais de cada função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
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Calcule cada integral.