Quais das seguintes integrais são impróprias? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais integrais são impróprias e o porquê. A integral que vamos analisar é:

Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma integral imprópria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Existem dois tipos principais:
  1. Limites infinitos: Quando o intervalo de integração vai até o infinito, como em nosso caso.
  2. Integrando com descontinuidades: Quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade (como uma assíntota vertical) dentro do intervalo de integração.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa integral:

Aqui, o limite superior da integral é infinito ( ). Isso já nos dá uma pista de que estamos lidando com uma integral imprópria, especificamente do tipo que envolve limites infinitos.

Passo 4

Além disso, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Essa função é contínua em todo o intervalo , ou seja, não apresenta descontinuidades ou assíntotas verticais. Portanto, a única razão para a integral ser imprópria é o limite infinito.

Passo 5

Para resolver essa integral, sabemos que ela converge e é conhecida como a integral de Gauss, cujo valor é:

Isso confirma que a integral é imprópria devido ao limite infinito, mas ainda assim possui um valor finito.

Resposta

A integral é uma integral imprópria porque o limite superior de integração é infinito.

Exercícios relacionados

Calcule cada integral.
Escreva a forma da decomposição em frações parciais de cada função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
Escreva a forma da decomposição em frações parciais de cada função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
Calcule cada integral.