Escreva a forma da decomposição em frações parciais de cada função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
5/(x^4-1)

Passo 1

Beleza, gente! O enunciado tá pedindo pra gente escrever a fração 5/(x^4-1) de uma forma chamada frações parciais. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre decomposição de frações. Pra resolver isso, a gente vai precisar fatorar o denominador e depois aplicar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que isso é uma diferença de potências, e pode ser fatorado assim:
Mas ainda dá pra fatorar mais, porque também é uma diferença de quadrados:
Então, o denominador completamente fatorado fica:

Passo 3

Agora que a gente tem o denominador fatorado, vamos montar as frações parciais. Quando o denominador tem fatores lineares e quadráticos, a decomposição fica assim:
Aqui, A e B são constantes que representam os coeficientes das frações com denominadores lineares, e é a expressão para o denominador quadrático .

Passo 4

Então, juntando tudo que a gente fez até agora, a decomposição em frações parciais da função original fica:

Resposta

A decomposição em frações parciais da função 5/(x^4-1) é:

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