Calcule cada um dos limites abaixo: lim x +infty 3 x^4+(5+a) x+6(a+1) x^4-8 x^2+4 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma função com polinômios no numerador e no denominador. A matéria aqui é Cálculo, especificamente limites de funções polinomiais quando tende ao infinito. Vamos precisar identificar quais são os termos de maior grau no numerador e no denominador para facilitar nossa conta.

Passo 2

Quando tende a , os termos de maior grau em um polinômio são os que mais influenciam o comportamento da função. Isso porque, conforme cresce, os termos com potências mais altas de se tornam muito maiores que os demais. Então, nossa estratégia vai ser focar nesses termos de maior grau.

Passo 3

Vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador da função:
  • Numerador: . O termo de maior grau é .
  • Denominador: . O termo de maior grau é .

Passo 4

Agora que sabemos quais são os termos principais, podemos simplificar o limite considerando apenas esses termos. A ideia é que, para limx to +infty 3x^4(a + 1)x^4 muito grande, os outros termos se tornam insignificantes. Então, o limite fica:

Passo 5

Simplificando a expressão, os 3a + 1 no numerador e no denominador se cancelam. Ficamos então com:

Resposta

O limite é igual a .

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