Determine os limites: lim x 0 2^3 x-13^2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar alguns conceitos de limites e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observamos que, quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , então precisamos de uma técnica para resolver.

Passo 3

Uma maneira eficiente de lidar com isso é usar a aproximação de Taylor para exponenciais perto de 0. Sabemos que para a^x approx 1 + x ln(a) , quando é próximo de 0, podemos aproximar:

Passo 4

Aplicando essa aproximação no numerador e no denominador:
2^3x approx 1 + 3x ln(2)
3^2x approx 1 + 2x ln(3)

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original:
2^3x - 13^2x - 1 approx (1 + 3x ln(2)) - 1(1 + 2x ln(3)) - 1 = 3x ln(2)2x ln(3)

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão. Os 3 ln(2)2 ln(3) no numerador e denominador se cancelam:

Resposta

O limite é .

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