(f) ( ) Se lim n +infty raiz[n]|an|=L>0 então o raio de convergência da série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n é 1L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que fala sobre séries de potências e quer saber qual o raio de convergência dessa série. Basicamente, a gente tem uma série na forma sumn=0^+infty an(x-a)^n, e sabemos que o limite da raiz n-ésima de |an| é L > 0. Queremos descobrir o raio de convergência dessa série, que é 1L. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Em séries de potências, o raio de convergência R é o valor tal que a série converge para todos os x dentro do intervalo |x - a| < R e diverge fora desse intervalo. Ou seja, nos dá uma “zona” onde a série funciona direitinho.

Passo 3

Agora, vamos falar do Teste da Raiz, que é essencial para encontrar esse raio. O teste diz que, para a série sum an (x - a)^n, o limite L = limn to +infty raiz[n]|an| nos ajuda a determinar a convergência:
  • Se L cdot |x - a| < 1, a série converge.
  • Se L cdot |x - a| > 1, a série diverge.
  • Se L cdot |x - a| = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Queremos encontrar o raio R onde a série converge, ou seja, queremos que L cdot |x - a| < 1. Vamos resolver essa desigualdade para |x - a|:
L cdot |x - a| < 1
Dividindo os dois lados por L (lembrando que L > 0):
|x - a| < 1L

Passo 5

Daí, vemos que o raio de convergência R é exatamente 1L. Isso significa que, para todos os x que estão dentro dessa distância de a, a série vai convergir. Fora dessa distância, ela não converge.

Resposta

O raio de convergência da série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n é 1L.

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