(f) ( ) Se
então o raio de convergência da série de potências
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que fala sobre séries de potências e quer saber qual o raio de convergência dessa série. Basicamente, a gente tem uma série na forma
, e sabemos que o limite da raiz n-ésima de
é
. Queremos descobrir o raio de convergência dessa série, que é
. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Em séries de potências, o raio de convergência
é o valor tal que a série converge para todos os
dentro do intervalo
e diverge fora desse intervalo. Ou seja, nos dá uma “zona” onde a série funciona direitinho.
Passo 3
Agora, vamos falar do Teste da Raiz, que é essencial para encontrar esse raio. O teste diz que, para a série
, o limite
nos ajuda a determinar a convergência:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Queremos encontrar o raio
onde a série converge, ou seja, queremos que
. Vamos resolver essa desigualdade para
:
Dividindo os dois lados por
(lembrando que
):
Passo 5
Daí, vemos que o raio de convergência
é exatamente
. Isso significa que, para todos os
que estão dentro dessa distância de
, a série vai convergir. Fora dessa distância, ela não converge.
Resposta
O raio de convergência da série de potências
é
.