Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções radicais com quadráticos. Para resolver, vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da integral. Temos , onde , então . Nessa situação, a substituição trigonométrica adequada é . Isso porque sabemos que , o que vai simplificar a raiz.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos e na nossa integral:
Simplificando o denominador:
Passo 5
Agora, a integral fica:
A integral de é conhecida:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Então, e .
Passo 7
Substituindo de volta:
Podemos simplificar a constante multiplicativa dentro do logaritmo absorvendo na constante de integração: