Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
integral d xraizx^2+12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções radicais com quadráticos. Para resolver, vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da integral. Temos , onde , então . Nessa situação, a substituição trigonométrica adequada é . Isso porque sabemos que , o que vai simplificar a raiz.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
x = 2raiz3 tan theta
Diferenciando ambos os lados em relação a dx = 2raiz3 sec^2 theta , dtheta :

Passo 4

Agora, substituímos integral 2raiz3 sec^2 theta , dthetaraiz(2raiz3 tan theta)^2 + 12 e raiz12 tan^2 theta + 12 = raiz12 (tan^2 theta + 1) = raiz12 sec^2 theta = 2raiz3 sec theta na nossa integral:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral 2raiz3 sec^2 theta , dtheta2raiz3 sec theta = integral sec theta , dtheta
A integral de integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C é conhecida:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x = 2raiz3 tan theta . Sabemos que:
Então, e .

Passo 7

Substituindo de volta:
ln | raizx^2 + 122raiz3 + x2raiz3 | + C = ln | raizx^2 + 12 + x2raiz3 | + C
Podemos simplificar a constante multiplicativa dentro do logaritmo absorvendo na constante de integração:
ln |raizx^2 + 12 + x| + C

Resposta

A integral ln | x + raizx^2 + 12 | + C é igual a:

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