Calcule cada um dos limites abaixo:
(i) lim x a raiz[3 x]x-raiz[3]ax-a
Dica: nos dois últimos itens, use a identidade
(x^n-y^n)=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+cdots+x y^n-2+y^n-1), para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente usando conceitos de derivadas. Vamos precisar entender como trabalhar com potências e funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão raiz[3x]x = x^13x de uma forma mais fácil de manipular. A raiz de índice x^13x - a^13x - a de pode ser escrita como uma potência:
Então, nossa expressão original fica:

Passo 3

Perceba que a expressão limx to a f(x) - f(a)x - a = f'(a) se assemelha à definição da derivada de em . Ou seja:
Aqui, nossa função é . Portanto, o limite que estamos calculando é a derivada de avaliada em .

Passo 4

Vamos encontrar ln f(x) = 13x ln x , a derivada de f'(x)f(x) = ddx( 13x ln x ) . Para derivar uma função que tem uma variável no expoente, usamos logaritmos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada do lado direito:
ddx( 13x ln x ) = 13x cdot 1x - ln x3x^2 = 1 - ln x3x^2
Então,
f'(x) = f(x) cdot 1 - ln x3x^2

Passo 6

Substituindo f'(x) = x^13x cdot 1 - ln x3x^2 de volta:

Passo 7

Agora, vamos avaliar f'(a) = a^13a cdot 1 - ln a3a^2 em :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Use a informação de que lim x 0 sin (x)x=1 para calcular os limites abaixo:
© lim x 0 cos (x)-1x
Dica: no item ©, multiplique o numerador e o denominador por (cos (x)+ 1).
Determine para cada função o maior subconjunto de R^3 onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente: f(x, y, z) = (4 * x * y * z) / raiz(9 - x^2 - y^2 - z^2)
R: D = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 < 9}
Utilize as ferramentas matemáticas de limites e continuidade para calcular os limites abaixo: lim (x, y) (1,-3) e^2 x-y^2=e^-7
Calcule os limites abaixo:
(b) lim s 0 raiz2 s^2+3 s-44 s-4