Calcule cada um dos limites abaixo:
(i)
Dica: nos dois últimos itens, use a identidade
, para todo
.
(i)
Dica: nos dois últimos itens, use a identidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente usando conceitos de derivadas. Vamos precisar entender como trabalhar com potências e funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma mais fácil de manipular. A raiz de índice
de
pode ser escrita como uma potência:
Então, nossa expressão original fica:
Passo 3
Perceba que a expressão
se assemelha à definição da derivada de
em
. Ou seja:
Aqui, nossa função
é
. Portanto, o limite que estamos calculando é a derivada de
avaliada em
.
Passo 4
Vamos encontrar
, a derivada de
. Para derivar uma função que tem uma variável no expoente, usamos logaritmos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada do lado direito:
Então,
Passo 6
Substituindo
de volta:
Passo 7
Agora, vamos avaliar
em
:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Use a informação de que
para calcular os limites abaixo:
©
Dica: no item ©, multiplique o numerador e o denominador por
.
©
Dica: no item ©, multiplique o numerador e o denominador por
Determine para cada função o maior subconjunto de
onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente:
Utilize as ferramentas matemáticas de limites e continuidade para calcular os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo:
(b)
(b)