Use a informação de que lim x 0 sin (x)x=1 para calcular os limites abaixo:
© lim x 0 cos (x)-1x
Dica: no item ©, multiplique o numerador e o denominador por (cos (x)+ 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso está relacionado a limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a dica de multiplicar numerador e denominador por e também a informação de que .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar o numerador e o denominador por cos(x) - 1x times cos(x) + 1cos(x) + 1 = (cos(x) - 1)(cos(x) + 1)x(cos(x) + 1) . Isso ajuda a simplificar a expressão usando identidades trigonométricas:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Lembra da identidade (cos(x) - 1)(cos(x) + 1) = cos^2(x) - 1 = -sin^2(x) ? Na verdade, usamos uma variação dela:
-sin^2(x)x(cos(x) + 1)
Então, substituindo na expressão:

Passo 4

Vamos separar os termos para facilitar o cálculo do limite:
-sin^2(x)x(cos(x) + 1) = -( sin(x)x ) times sin(x)cos(x) + 1
Agora, analisamos cada parte separadamente.

Passo 5

Sabemos que limx 0 sin(x)cos(x) + 1 = 01 + 1 = 0 . Além disso, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0 e se aproxima de 1. Então:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
limx 0 cos(x) - 1x = - ( limx 0 sin(x)x ) times ( limx 0 sin(x)cos(x) + 1 ) = -1 times 0 = 0

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados

Determine para cada função o maior subconjunto de R^3 onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente: f(x, y, z) = (4 * x * y * z) / raiz(9 - x^2 - y^2 - z^2)
R: D = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 < 9}
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
b) e^y + x * y = e : d(y)/d(x) no ponto de ordenada 1 ;
Calcule cada um dos limites abaixo:
(i) lim x a raiz[3 x]x-raiz[3]ax-a
Dica: nos dois últimos itens, use a identidade
(x^n-y^n)=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+cdots+x y^n-2+y^n-1), para todo n in N.
Utilize as ferramentas matemáticas de limites e continuidade para calcular os limites abaixo: lim (x, y) (1,-3) e^2 x-y^2=e^-7