Determine para cada função o maior subconjunto de R^3 onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente: f(x, y, z) = (4 * x * y * z) / raiz(9 - x^2 - y^2 - z^2)
R: D = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 < 9}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o maior subconjunto de onde a função está definida. Basicamente, precisamos descobrir para quais valores de , e a função faz sentido matematicamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra envolvendo raízes quadradas e denominadores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Para essa expressão ser válida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior que zero, porque a raiz de um número negativo não é real. Então, precisamos que:

Passo 3

Resolvendo a inequação:
Isso significa que a soma dos quadrados de , e deve ser menor que 9. Geometricamente, isso representa o interior de uma esfera com raio 3 centrada na origem (0,0,0) no espaço tridimensional.

Passo 4

Além disso, devemos garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, , o que já está coberto pela nossa condição anterior ( ).

Passo 5

Portanto, o maior subconjunto de onde a função está definida é o conjunto de todos os pontos que estão dentro da esfera de raio 3 centrada na origem.

Resposta

O maior subconjunto de onde a função está definida é o interior da esfera .

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Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
b) e^y + x * y = e : d(y)/d(x) no ponto de ordenada 1 ;
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: z = x^2 * y^2 - x * y
R: 2y^2; 4xy - 1; 4xy - 1; 2x^2
Use a informação de que lim x 0 sin (x)x=1 para calcular os limites abaixo:
© lim x 0 cos (x)-1x
Dica: no item ©, multiplique o numerador e o denominador por (cos (x)+ 1).
Calcule cada um dos limites abaixo:
(i) lim x a raiz[3 x]x-raiz[3]ax-a
Dica: nos dois últimos itens, use a identidade
(x^n-y^n)=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+cdots+x y^n-2+y^n-1), para todo n in N.