Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 32 4 x^2-92 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra, especialmente fatoração de expressões polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 4(32)^2 - 9 = 4 times 94 - 9 = 9 - 9 = 0 na expressão. Substituindo no numerador:
2 times 32 - 3 = 3 - 3 = 0
E no denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador 4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) . Essa expressão é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 4

Agora, substituímos a forma fatorada do numerador na expressão original:
(2x - 3)(2x + 3)2x - 3
Perceba que cancel(2x - 3)(2x + 3)cancel2x - 3 = 2x + 3 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo:

Passo 5

Com a expressão simplificada 2 times 32 + 3 = 3 + 3 = 6 , agora podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é igual a 6.

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