Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 0 raiz3 x+4-raizx+4raizx+1-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas técnicas de álgebra, como racionalização, para simplificar a expressão e encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, observe que se substituirmos diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, resultando em uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver esse problema.

Passo 3

Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, multiplicamos e dividimos o numerador pela sua “conjugada”, que é raiz3x + 4 - raizx + 4raizx + 1 - 1 times raiz3x + 4 + raizx + 4raiz3x + 4 + raizx + 4 . Assim:

Passo 4

Fazendo essa multiplicação, o numerador se simplifica usando a identidade (3x + 4) - (x + 4)(raizx + 1 - 1)(raiz3x + 4 + raizx + 4) = 2x(raizx + 1 - 1)(raiz3x + 4 + raizx + 4) :

Passo 5

Agora, vamos racionalizar o denominador da nova expressão. Multiplicamos e dividimos o denominador por sua conjugada 2x(raizx + 1 - 1)(raiz3x + 4 + raizx + 4) times raizx + 1 + 1raizx + 1 + 1 :

Passo 6

Simplificando o denominador usando a identidade novamente:
2x (raizx + 1 + 1)(x + 1 - 1)(raiz3x + 4 + raizx + 4) = 2x (raizx + 1 + 1)x (raiz3x + 4 + raizx + 4) = 2 (raizx + 1 + 1)raiz3x + 4 + raizx + 4

Passo 7

Agora, podemos cancelar o limx to 0 2 (raizx + 1 + 1)raiz3x + 4 + raizx + 4 no numerador e denominador. O limite simplificado fica:

Passo 8

Substituindo 2 (raiz0 + 1 + 1)raiz0 + 4 + raiz0 + 4 = 2 (1 + 1)2 + 2 = 44 = 1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 1.

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