Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas técnicas de álgebra, como racionalização, para simplificar a expressão e encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, observe que se substituirmos
diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, resultando em uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver esse problema.
Passo 3
Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, multiplicamos e dividimos o numerador pela sua “conjugada”, que é
. Assim:
Passo 4
Fazendo essa multiplicação, o numerador se simplifica usando a identidade
:
Passo 5
Agora, vamos racionalizar o denominador da nova expressão. Multiplicamos e dividimos o denominador por sua conjugada
:
Passo 6
Simplificando o denominador usando a identidade novamente:
Passo 7
Agora, podemos cancelar o
no numerador e denominador. O limite simplificado fica:
Passo 8
Substituindo
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Dado que
e
, calcule:
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: