Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas técnicas de álgebra, como racionalização, para simplificar a expressão e encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, observe que se substituirmos diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, resultando em uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver esse problema.

Passo 3

Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, multiplicamos e dividimos o numerador pela sua “conjugada”, que é . Assim:

Passo 4

Fazendo essa multiplicação, o numerador se simplifica usando a identidade :

Passo 5

Agora, vamos racionalizar o denominador da nova expressão. Multiplicamos e dividimos o denominador por sua conjugada :

Passo 6

Simplificando o denominador usando a identidade novamente:

Passo 7

Agora, podemos cancelar o no numerador e denominador. O limite simplificado fica:

Passo 8

Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Dado que e , calcule:
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