Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício é de cálculo, mais especificamente de limites envolvendo funções com raízes. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que têm raízes e aplicar fórmulas de limites básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz:
. Quando
se aproxima de 0, essa expressão fica próxima de 1, então a raiz também fica próxima de 1. Isso sugere que podemos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar.
Passo 3
A técnica do conjugado envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A conjugada de
é
. Assim, vamos multiplicar:
Passo 4
Fazendo a multiplicação no numerador, usamos a identidade
. Então:
No denominador, fica
.
Passo 5
Agora, a expressão fica:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
por 0, já que estamos calculando o limite quando
tende a 0:
Numerador:
Denominador:
Resposta
Portanto, o limite é: