Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 0 raiz1-2 x-x^2-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 raiz1-2 x-x^2-1x. Esse exercício é de cálculo, mais especificamente de limites envolvendo funções com raízes. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que têm raízes e aplicar fórmulas de limites básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz: 1 - 2x - x^2. Quando x se aproxima de 0, essa expressão fica próxima de 1, então a raiz também fica próxima de 1. Isso sugere que podemos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar.

Passo 3

A técnica do conjugado envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A conjugada de raiz1 - 2x - x^2 - 1 é raiz1 - 2x - x^2 + 1. Assim, vamos multiplicar:
raiz1-2 x-x^2-1x cdot raiz1-2x -x^2+1raiz1-2x -x^2+1

Passo 4

Fazendo a multiplicação no numerador, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Então:
(raiz1-2x -x^2)^2 - 1^2 = (1 - 2x - x^2) - 1 = -2x - x^2
No denominador, fica x(raiz1-2x -x^2 + 1).

Passo 5

Agora, a expressão fica:
-2x - x^2x(raiz1-2x -x^2 + 1)
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por x:
-2 - xraiz1-2x -x^2 + 1

Passo 6

Agora, vamos substituir x por 0, já que estamos calculando o limite quando x tende a 0:
Numerador: -2 - 0 = -2
Denominador: raiz1 - 0 - 0 + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x 0 raiz1-2 x-x^2-1x = -22 = -1

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