Considere a curva dada pela função vetorial r(t) = (e^t * sen(t), e^t * cos(t), raiz(2) * e^t). Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto P = (0, 1, raiz(2)) na direção que t cresce;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial . A tarefa é encontrar a função comprimento de arco dessa curva, começando no ponto , e seguindo na direção em que aumenta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de funções vetoriais e a integração para calcular o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial vec(r)(t) em relação a t, que é representada por . Isso nos dará a velocidade vetorial da curva.
Calculando cada componente:
Usando a regra do produto para derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou o módulo) dessa derivada, que é necessário para encontrar o comprimento de arco. A norma de é dada por:
Simplificando cada termo:
Expandindo os quadrados:
Então:

Passo 4

Com a norma da derivada em mãos, podemos agora encontrar a função comprimento de arco S(t). A fórmula para o comprimento de arco desde t = 0 até um ponto t é:
Integrando:

Resposta

A função comprimento de arco da curva é:

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