Considere a curva dada pela função vetorial
. Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto
na direção que
cresce;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial . A tarefa é encontrar a função comprimento de arco dessa curva, começando no ponto
, e seguindo na direção em que
aumenta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de funções vetoriais e a integração para calcular o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
, que é representada por
. Isso nos dará a velocidade vetorial da curva.
Calculando cada componente:
Usando a regra do produto para derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma (ou o módulo) dessa derivada, que é necessário para encontrar o comprimento de arco. A norma de
é dada por:
Simplificando cada termo:
Expandindo os quadrados:
Então:
Passo 4
Com a norma da derivada em mãos, podemos agora encontrar a função comprimento de arco
. A fórmula para o comprimento de arco desde
até um ponto
é:
Integrando:
Resposta
A função comprimento de arco da curva é: