Calcule o comprimento das curvas dadas. r(t) = (-sen(t), cos(t), 2), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício de cálculo de comprimento de curvas. A função vetorial dada é para . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de uma curva no cálculo, que envolve derivar a função vetorial e integrar a magnitude dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial . A fórmula é:
Onde é a derivada da função vetorial em relação a e é a magnitude dessa derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função vetorial . Temos:
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada :
Isso simplifica bastante a nossa integral!

Passo 5

Com a magnitude da derivada sendo 1, a integral para o comprimento da curva fica:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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