Calcule o comprimento das curvas dadas.
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício de cálculo de comprimento de curvas. A função vetorial dada é
para
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de uma curva no cálculo, que envolve derivar a função vetorial e integrar a magnitude dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial
. A fórmula é:
Onde
é a derivada da função vetorial em relação a
e
é a magnitude dessa derivada.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função vetorial
. Temos:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude da derivada
:
Isso simplifica bastante a nossa integral!
Passo 5
Com a magnitude da derivada sendo 1, a integral para o comprimento da curva fica:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.