Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular . Esse problema está relacionado com o conteúdo de limites, especificamente lidando com expressões que dão uma forma indeterminada como . Vamos precisar usar técnicas de álgebra, como fatoração e racionalização, para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na expressão:
Aqui temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Agora, nossa expressão fica:

Passo 4

O próximo passo é lidar com o denominador . Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é . Isso ajuda a eliminar as raízes do denominador.
Multiplicando, temos:

Passo 5

Vamos multiplicar os denominadores usando a fórmula :
Então, a expressão agora fica:

Passo 6

Podemos simplificar o denominador fatorando:
Agora, a expressão é:

Passo 7

Observamos que o termo aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que está ok no contexto de limites):

Passo 8

Agora, podemos substituir na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Considere as funções polinomiais e . Fatore a raiz comum de e . Ou seja, determine constantes reais , e tais que
Se , mostre que existe e calcule seu valor.