Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 2 x^2-4raizx+2-raiz3 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular . Esse problema está relacionado com o conteúdo de limites, especificamente lidando com expressões que dão uma forma indeterminada como . Vamos precisar usar técnicas de álgebra, como fatoração e racionalização, para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 2^2-4raiz2+2-raiz3 times 2 -2 = 4-4raiz4 - raiz6-2 = 02 - 2 = 00 na expressão:
Aqui temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
(x - 2)(x + 2)raizx+2 - raiz3x - 2
Agora, nossa expressão fica:

Passo 4

O próximo passo é lidar com o denominador (x - 2)(x + 2)raizx+2 - raiz3x - 2 times raizx+2 + raiz3x - 2raizx+2 + raiz3x - 2 . Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é . Isso ajuda a eliminar as raízes do denominador.
Multiplicando, temos:

Passo 5

Vamos multiplicar os denominadores usando a fórmula (raizx+2)^2 - (raiz3x - 2)^2 = (x + 2) - (3x - 2) = x + 2 - 3x + 2 = -2x + 4 :
(x - 2)(x + 2)(raizx+2 + raiz3x - 2)-2x + 4
Então, a expressão agora fica:

Passo 6

Podemos simplificar o denominador -2x + 4 = -2(x - 2) fatorando:
(x - 2)(x + 2)(raizx+2 + raiz3x - 2)-2(x - 2)
Agora, a expressão é:

Passo 7

Observamos que o termo (x + 2)(raizx+2 + raiz3x - 2)-2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que está ok no contexto de limites):

Passo 8

Agora, podemos substituir (2 + 2)(raiz2+2 + raiz3 times 2 - 2)-2 = 4(raiz4 + raiz6 - 2)-2 = 4(2 + 2)-2 = 4 times 4-2 = 16-2 = -8 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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