Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular
. Esse problema está relacionado com o conteúdo de limites, especificamente lidando com expressões que dão uma forma indeterminada como
. Vamos precisar usar técnicas de álgebra, como fatoração e racionalização, para simplificar a expressão e encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
Aqui temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 4
O próximo passo é lidar com o denominador
. Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
. Isso ajuda a eliminar as raízes do denominador.
Multiplicando, temos:
Passo 5
Vamos multiplicar os denominadores usando a fórmula
:
Então, a expressão agora fica:
Passo 6
Podemos simplificar o denominador
fatorando:
Agora, a expressão é:
Passo 7
Observamos que o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que
, o que está ok no contexto de limites):
Passo 8
Agora, podemos substituir
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.