Considere as funções polinomiais f(x) = x^3 - 6 x - 9 e g(x) = x^3 - 8x - 3. Fatore a raiz comum de f e g. Ou seja, determine constantes reais a, b, c e d tais que
f(x)=(x-3)(x^2+a x+b) e g(x)=(x-3)(x^2+c x+d)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente fatorar duas funções polinomiais, e , encontrando uma raiz comum para ambas. Isso significa que queremos escrever cada função na forma multiplicado por um polinômio quadrático. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Fator, que nos ajuda a fatorar polinômios quando sabemos uma de suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é de fato uma raiz comum para ambas as funções. Pelo Teorema do Fator, se é raiz de , então . Vamos verificar isso:
Para :
Então, é uma raiz de .
Para :
Portanto, também é uma raiz de .

Passo 3

Agora que sabemos que é uma raiz comum, podemos escrever cada polinômio na forma dada:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes e .

Passo 4

Vamos começar expandindo a expressão fatorada de :
Simplificando os termos semelhantes:
Agora, sabemos que isso deve ser igual a . Então, podemos igualar os coeficientes correspondentes:
  1. Coeficiente de : (já está ok)
  2. Coeficiente de :
  3. Coeficiente de :
  4. Termo constante: (confirmação)

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para . Expandindo:
Simplificando:
Igualando aos termos de :
  1. Coeficiente de : (ok)
  2. Coeficiente de :
  3. Coeficiente de :
  4. Termo constante: (confirmação)

Resposta

As constantes encontradas são:

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