Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 3 x^2-4 x+3x^2-x-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 3 na função . Isso envolve conceitos de limites e manipulação de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar frações algébricas e utilizar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3^2 - 4 cdot 3 + 33^2 - 3 - 6 = 9 - 12 + 39 - 3 - 6 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Vamos fatorar cada parte:
Numerador: x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3.
Denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e +2.

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x - 1)(x - 3)(x - 3)(x + 2)
Perceba que x - 1x + 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse fator, desde que (o que é válido ao calcular o limite):

Passo 5

Com a expressão simplificada 3 - 13 + 2 = 25 , podemos agora calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

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