Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 3 na função
. Isso envolve conceitos de limites e manipulação de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar frações algébricas e utilizar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Vamos fatorar cada parte:
Numerador:
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3.
Denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e +2.
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Perceba que
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse fator, desde que
(o que é válido ao calcular o limite):
Passo 5
Com a expressão simplificada
, podemos agora calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.