Se , mostre que existe e calcule seu valor.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o limite e precisamos mostrar que existe e descobrir qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Esse limite está na forma da definição da derivada, que basicamente nos diz a taxa de variação de em relação a perto de um ponto específico, que neste caso é .

Passo 3

Podemos reescrever a expressão como se supusermos que . Isso porque, se se aproxima de 1, o valor de se aproxima de .

Passo 4

Dessa forma, nos diz que a derivada de em é 10. Mas para a derivada existir, a função precisa ser contínua em , o que implica que .

Passo 5

Então, sabemos que existe e é igual a . Pelo enunciado, sabemos que está relacionado ao limite, o que sugere que .

Resposta

O limite existe e o seu valor é 8.

Exercícios relacionados

Considere as funções polinomiais e . Fatore a raiz comum de e . Ou seja, determine constantes reais , e tais que
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
17. (a)
(b)
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: