Se
, mostre que
existe e calcule seu valor.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o limite
e precisamos mostrar que
existe e descobrir qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Esse limite está na forma da definição da derivada, que basicamente nos diz a taxa de variação de
em relação a
perto de um ponto específico, que neste caso é
.
Passo 3
Podemos reescrever a expressão
como
se supusermos que
. Isso porque, se
se aproxima de 1, o valor de
se aproxima de
.
Passo 4
Dessa forma,
nos diz que a derivada de
em
é 10. Mas para a derivada existir, a função
precisa ser contínua em
, o que implica que
.
Passo 5
Então, sabemos que
existe e é igual a
. Pelo enunciado, sabemos que
está relacionado ao limite, o que sugere que
.
Resposta
O limite
existe e o seu valor é 8.
Exercícios relacionados
Considere as funções polinomiais
e
. Fatore a raiz comum de
e
. Ou seja, determine constantes reais
,
e
tais que
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
17. (a)
(b)
17. (a)
(b)
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: