Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 1 raizx+3-2x^2-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Estamos lidando com limites e funções racionais aqui. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que resultam em formas indeterminadas, como .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz1+3-21^2-3(1)+2 = raiz4-21-3+2 = 2-20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar simplificando o denominador x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) . Esse polinômio pode ser fatorado:
raizx+3-2(x - 1)(x - 2)
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o numerador raizx+3-2(x - 1)(x - 2) times raizx+3+2raizx+3+2 = (raizx+3)^2 - 2^2(x - 1)(x - 2)(raizx+3+2) . Para eliminar a raiz quadrada, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é :

Passo 5

Simplificando o numerador usando a identidade (raizx+3)^2 - 2^2 = x + 3 - 4 = x - 1 :
x - 1(x - 1)(x - 2)(raizx+3+2)
Então, a expressão agora é:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o 1(x - 2)(raizx+3+2) que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, substituímos 1(1 - 2)(raiz1+3+2) = 1(-1)(2 + 2) = 1-1 times 4 = -14 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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