Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Estamos lidando com limites e funções racionais aqui. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que resultam em formas indeterminadas, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos começar simplificando o denominador
. Esse polinômio pode ser fatorado:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos lidar com o numerador
. Para eliminar a raiz quadrada, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é
:
Passo 5
Simplificando o numerador usando a identidade
:
Então, a expressão agora é:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o
que está no numerador e no denominador:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.