Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 1 3-raiz10-xx^2-1

Passo 1

Vamos lá! Você quer calcular o limite . Esse problema está relacionado ao conteúdo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar de algumas técnicas, como a racionalização e o teorema de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 3 - raiz10 - 11^2 - 1 = 3 - 31 - 1 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é chamado de forma indeterminada, ou seja, não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Uma boa técnica para lidar com raízes no numerador é a racionalização. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de 3 - raiz10 - xx^2 - 1 times 3 + raiz10 - x3 + raiz10 - x é .
Vamos multiplicar:

Passo 4

Agora, vamos resolver o numerador e o denominador separadamente.
No numerador:
(3 - raiz10 - x)(3 + raiz10 - x) = 3^2 - (raiz10 - x)^2 = 9 - (10 - x) = 9 - 10 + x = x - 1
No denominador:
(x^2 - 1)(3 + raiz10 - x) = (x - 1)(x + 1)(3 + raiz10 - x)
Então, a expressão se torna:
x - 1(x - 1)(x + 1)(3 + raiz10 - x)

Passo 5

Agora, podemos simplificar o termo cancelx - 1cancel(x - 1)(x + 1)(3 + raiz10 - x) = 1(x + 1)(3 + raiz10 - x) que aparece no numerador e no denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo limx 1 1(1 + 1)(3 + raiz10 - 1) = 12 times (3 + 3) = 12 times 6 = 112 :

Resposta

O limite é .

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