Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Passo 1
Vamos lá! Você quer calcular o limite
. Esse problema está relacionado ao conteúdo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar de algumas técnicas, como a racionalização e o teorema de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Esse resultado
é chamado de forma indeterminada, ou seja, não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Precisamos simplificar a expressão para resolver isso.
Passo 3
Uma boa técnica para lidar com raízes no numerador é a racionalização. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de
é
.
Vamos multiplicar:
Passo 4
Agora, vamos resolver o numerador e o denominador separadamente.
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão se torna:
Passo 5
Agora, podemos simplificar o termo
que aparece no numerador e no denominador:
Passo 6
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.