Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 1 x^2-3 x+2x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do tópico de Limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões racionais e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está acontecendo quando substituímos 1^2 - 3 times 1 + 21 - 1 = 00 diretamente na expressão. Se fizermos isso, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Isso é um indeterminado , então precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então podemos escrever:

Passo 4

Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
(x - 1)(x - 2)x - 1
Perceba que o termo (x - 1)(x - 2)x - 1 = x - 2 está presente no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos, desde que :

Passo 5

Após simplificar, a expressão ficou 1 - 2 = -1 . Agora, podemos substituir por diretamente:

Resposta

O limite é .

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