(a) Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
y = sen(x^2)
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência y = sen(x^2).
(b) Use as equações paramétricas obtidas na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que esteja a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
y = sen(x^2)
O conteúdo envolvido aqui é parametrização de reta e comprimento de arco. Para resolver, precisamos saber como reescrever a reta usando o comprimento de arco como parâmetro, garantindo que a orientação e o ponto de referência y = sen(x^2) sejam mantidos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta original. Observando as equações paramétricas, os coeficientes de y = sen(x^2) são y = sen(x^2). Portanto, o vetor diretor é:

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do vetor diretor para normalizá-lo. A norma de y = sen(x^2) é:
y = sen(x^2)

Passo 4

Agora, normalizamos o vetor diretor dividindo cada componente pela sua norma:
y = sen(x^2)

Passo 5

A parametrização por comprimento de arco y = sen(x^2) usa o vetor unitário y = sen(x^2). A equação da reta fica:
1, 3, 4
Onde é o ponto de referência .

Passo 6

Substituindo y = sen(x^2) e y = sen(x^2) na equação:

Passo 7

Escrevendo de forma paramétrica:
y = sen(x^2)

Passo 8

Agora, na parte (b), precisamos encontrar o ponto na reta que está a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente . Isso significa que .

Passo 9

Substituímos y = sen(x^2) nas equações paramétricas obtidas:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)

Resposta

O ponto sobre a reta que está a 25 unidades do ponto de referência na direção crescente é:
y = sen(x^2)

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<html><head></head><body><div>Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.<br>
18. (a) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
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-200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(6950.4,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(7561.7,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(8561.9,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 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430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 85 94 103T137 121Q202 121 202 8Q202 -44 183 -94T144 -169T118 -194Q115 -194 106 -186T95 -174Q94 -171 107 -155T137 -107T160 -38Q161 -32 162 -22T165 -4T165 4Q165 5 161 4T142 0Q110 0 94 18T78 60Z”></path></g><g data-mml-node=“mstyle” transform=“translate(9807.9,0)”><g data-mml-node=“mspace”></g></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(10974.6,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(11752.3,0)”><path data-c=“2264” d=“M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(12808.1,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(13446.9,0)”><path data-c=“2264” d=“M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 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(b) <span class="math-inline ">
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data-mml-node=“mo” transform=“translate(15645.2,0)”><path data-c=“2264” d=“M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(16701,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(17339.8,0)”><path data-c=“2264” d=“M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(18395.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.<br>
7. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.438ex” height=“2.339ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 5497.6 1033.9”><title>r = 3 t^2 i - 2 j</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(751.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1807.6,0)”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(2307.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(394,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(3105.1,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 450H232V62H294V0H286Q271 3 171 3Q67 3 49 0H40V62H109V209Q109 358 108 362Q103 380 55 380H43V442H46Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3646.3,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(4646.6,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(5146.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span><br>
8. <span class="math-inline ">
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624H29V686H32Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
<html><head></head><body><div>Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“6.289ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 2779.7 1000”><title>Se r(t)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“53” d=“M55 507Q55 590 112 647T243 704H257Q342 704 405 641L426 672Q431 679 436 687T446 700L449 704Q450 704 453 704T459 705H463Q466 705 472 699V462L466 456H448Q437 456 435 459T430 479Q413 605 329 646Q292 662 254 662Q201 662 168 626T135 542Q135 508 152 480T200 435Q210 431 286 412T370 389Q427 367 463 314T500 191Q500 110 448 45T301 -21Q245 -21 201 -4T140 27L122 41Q118 36 107 21T87 -7T78 -21Q76 -22 68 -22H64Q61 -22 55 -16V101Q55 220 56 222Q58 227 76 227H89Q95 221 95 214Q95 182 105 151T139 90T205 42T305 24Q352 24 386 62T420 155Q420 198 398 233T340 281Q284 295 266 300Q261 301 239 306T206 314T174 325T141 343T112 367T85 402Q55 451 55 507Z”></path><path data-c=“65” d=“M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z” transform=“translate(556,0)”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1166.7,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1640.7,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(2029.7,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2390.7,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> for uma função vetorial lisa, então o parâmetro comprimento de arco <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.479ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5073.6 1000”><title>s, com r(t0)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D460” d=“M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(469,0)”><path 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