(a) Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência
.
(b) Use as equações paramétricas obtidas na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que esteja a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente.
(b) Use as equações paramétricas obtidas na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que esteja a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
O conteúdo envolvido aqui é parametrização de reta e comprimento de arco. Para resolver, precisamos saber como reescrever a reta usando o comprimento de arco como parâmetro, garantindo que a orientação e o ponto de referência
sejam mantidos.
Passo 2
Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta original. Observando as equações paramétricas, os coeficientes de
são
. Portanto, o vetor diretor é:
Passo 3
Vamos calcular o comprimento do vetor diretor para normalizá-lo. A norma de
é:
Passo 4
Agora, normalizamos o vetor diretor dividindo cada componente pela sua norma:
Passo 5
A parametrização por comprimento de arco
usa o vetor unitário
. A equação da reta fica:
Onde
é o ponto de referência
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Escrevendo de forma paramétrica:
Passo 8
Agora, na parte (b), precisamos encontrar o ponto na reta que está a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente
. Isso significa que
.
Passo 9
Substituímos
nas equações paramétricas obtidas:
Resposta
O ponto sobre a reta que está a 25 unidades do ponto de referência na direção crescente é: