(a) Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
x = 1 + t, y = 3 - 2t, z = 4 + 2t
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência 1, 3, 4.
(b) Use as equações paramétricas obtidas na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que esteja a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
O conteúdo envolvido aqui é parametrização de reta e comprimento de arco. Para resolver, precisamos saber como reescrever a reta usando o comprimento de arco como parâmetro, garantindo que a orientação e o ponto de referência 1, 3, 4 sejam mantidos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta original. Observando as equações paramétricas, os coeficientes de são . Portanto, o vetor diretor é:

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do vetor diretor para normalizá-lo. A norma de é:

Passo 4

Agora, normalizamos o vetor diretor dividindo cada componente pela sua norma:

Passo 5

A parametrização por comprimento de arco usa o vetor unitário 1, 3, 4. A equação da reta fica:
Onde é o ponto de referência .

Passo 6

Substituindo e na equação:

Passo 7

Escrevendo de forma paramétrica:

Passo 8

Agora, na parte (b), precisamos encontrar o ponto na reta que está a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente . Isso significa que .

Passo 9

Substituímos nas equações paramétricas obtidas:

Resposta

O ponto sobre a reta que está a 25 unidades do ponto de referência na direção crescente é:

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