Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem: lim x 1 raiz2 x-raizx+1x-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular algébricamente a expressão para eliminar a indeterminação que surge ao substituir diretamente .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz2 cdot 1 - raiz1 + 11 - 1 = raiz2 - raiz20 = 00 diretamente na expressão:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de raiz2x - raizx+1x - 1 cdot raiz2x + raizx+1raiz2x + raizx+1 = (raiz2x)^2 - (raizx+1)^2(x - 1)(raiz2x + raizx+1) é .
Multiplicamos a fração original por :

Passo 4

Simplificamos o numerador usando a identidade (raiz2x)^2 - (raizx+1)^2 = 2x - (x + 1) = 2x - x - 1 = x - 1 :
x - 1(x - 1)(raiz2x + raizx+1)
Agora, a expressão fica:

Passo 5

Podemos cancelar o termo 1raiz2x + raizx+1 no numerador e no denominador:
limx to 1 1raiz2 cdot 1 + raiz1 + 1 = 1raiz2 + raiz2 = 12raiz2
Agora, a expressão está simplificada e podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

12raiz2

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