Seja S o sólido cujo interior está dentro da esfera x^2+y^2=z^2=2 e fora do cilindro x^2+y^2=1. Sabendo que a densidade de massa de um ponto em S é igual ao inverso de sua distância à origem, calcule a massa de S.
Dica: integral cossec(x) d x=-ln |cossec(x)+cotg(x)|+C.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a massa de um sólido que está dentro de uma esfera com equação e fora de um cilindro com equação . A densidade de massa nesse sólido é igual ao inverso da distância de cada ponto à origem. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são bem úteis para esse tipo de problema envolvendo cilindros e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do sólido . Ele está dentro da esfera , o que significa que todos os pontos satisfazem . Por outro lado, está fora do cilindro , ou seja, .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Agora, vamos expressar as equações da esfera e do cilindro em coordenadas cilíndricas:
  • Esfera:
  • Cilindro:

Passo 5

A densidade de em coordenadas cilíndricas fica:
de
Mas, da equação da esfera, sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 1 a (de fora do cilindro até a esfera)
  • varia de 0 a (completando a volta em torno do eixo)
  • varia de a para cada

Passo 7

A massa M = integral0^2pi integral1^raiz2 integral-raiz2 - r^2^raiz2 - r^2 1raiz2 , r , dz , dr , dtheta é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume :

Passo 8

Vamos resolver a integral em integral-raiz2 - r^2^raiz2 - r^2 1raiz2 , dz = 1raiz2 [ z ]-raiz2 - r^2^raiz2 - r^2 = 2raiz2 - r^2raiz2 = 2raiz1 - r^22 primeiro:

Passo 9

Substituindo de volta na integral:
M = integral0^2pi integral1^raiz2 2raiz1 - r^22 cdot r , dr , dtheta

Passo 10

Agora, resolvemos a integral em integral1^raiz2 2raizu cdot (-du) = 2 integral1 - (raiz2)^22^1 - 1^22 raizu , du = 2 integral0^12 raizu , du . Vamos fazer a substituição 2 [ 23 u^32 ]0^12 = 43 ( (12)^32 - 0 ) = 43 cdot raiz24 = raiz23 , então :
Calculando:

Passo 11

Finalmente, integramos em M = integral0^2pi raiz23 , dtheta = raiz23 cdot 2pi = 2piraiz23 :

Resposta

A massa do sólido é .

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