Seja o sólido cujo interior está dentro da esfera e fora do cilindro . Sabendo que a densidade de massa de um ponto em é igual ao inverso de sua distância à origem, calcule a massa de .
Dica: .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a massa de um sólido que está dentro de uma esfera com equação e fora de um cilindro com equação . A densidade de massa nesse sólido é igual ao inverso da distância de cada ponto à origem. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são bem úteis para esse tipo de problema envolvendo cilindros e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do sólido . Ele está dentro da esfera , o que significa que todos os pontos satisfazem . Por outro lado, está fora do cilindro , ou seja, .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Agora, vamos expressar as equações da esfera e do cilindro em coordenadas cilíndricas:
  • Esfera:
  • Cilindro:

Passo 5

A densidade em coordenadas cilíndricas fica:
Mas, da equação da esfera, sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 1 a (de fora do cilindro até a esfera)
  • varia de 0 a (completando a volta em torno do eixo)
  • varia de a para cada

Passo 7

A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume :

Passo 8

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 9

Substituindo de volta na integral:

Passo 10

Agora, resolvemos a integral em . Vamos fazer a substituição , então :
Calculando:

Passo 11

Finalmente, integramos em :

Resposta

A massa do sólido é .

Exercícios relacionados

Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
17. (a)
(b)
Encontre (a) , (b) , © e (d) e defina seus domínios.
Esboce o gráfico de e mostre o sentido de crescente.
21.