Seja
o sólido cujo interior está dentro da esfera
e fora do cilindro
. Sabendo que a densidade de massa de um ponto em
é igual ao inverso de sua distância à origem, calcule a massa de
.
Dica:
.
Dica:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a massa de um sólido
que está dentro de uma esfera com equação
e fora de um cilindro com equação
. A densidade de massa nesse sólido é igual ao inverso da distância de cada ponto à origem. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são bem úteis para esse tipo de problema envolvendo cilindros e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do sólido
. Ele está dentro da esfera
, o que significa que todos os pontos satisfazem
. Por outro lado, está fora do cilindro
, ou seja,
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Agora, vamos expressar as equações da esfera e do cilindro em coordenadas cilíndricas:
- Esfera:
⇒ - Cilindro:
Passo 5
A densidade
em coordenadas cilíndricas fica:
Mas, da equação da esfera, sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 1 a (de fora do cilindro até a esfera) -
varia de 0 a (completando a volta em torno do eixo) -
varia de a para cada
Passo 7
A massa
é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume
:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 9
Substituindo de volta na integral:
Passo 10
Agora, resolvemos a integral em
. Vamos fazer a substituição
, então
:
Calculando:
Passo 11
Finalmente, integramos em
:
Resposta
A massa do sólido
é
.
Exercícios relacionados
Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
17. (a)
(b)
17. (a)
(b)
Encontre (a)
, (b)
, ©
e (d)
e defina seus domínios.
Esboce o gráfico de
e mostre o sentido de
crescente.
21.
21.