Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o segmento de reta de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral ao longo da curva
, que é um segmento de reta de
até
. O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, onde a gente vai precisar parametrizar a curva e usar as fórmulas de cálculo de integrais sobre caminhos.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como
é um segmento de reta de
até
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. A equação paramétrica fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, que são necessárias para substituir
e
na integral:
Então,
Passo 4
Substituímos a parametrização na integral original:
Substituindo
,
,
, e
:
Passo 5
Simplificamos as expressões dentro da integral:
Agora, vamos calcular cada integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Resposta
Somando os resultados das integrais:
Então, o valor da integral de linha é 3.
Exercícios relacionados
Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Confirme se
é uma função potencial de
.
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
Se estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
Se
Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.