Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de C,
integralC(3 x+2 y) d x+(2 x-y) d y
C é o segmento de reta de (0,0) até (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral ao longo da curva , que é um segmento de reta de até . O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, onde a gente vai precisar parametrizar a curva e usar as fórmulas de cálculo de integrais sobre caminhos.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva x(t) = t y(t) = t para t in [0,1] . Como é um segmento de reta de até , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A equação paramétrica fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dxdt = 1 dydt = 1 e dx = dxdt dt = dt dy = dydt dt = dt em relação a , que são necessárias para substituir e na integral:
Então,

Passo 4

Substituímos a parametrização na integral original:
integralC (3x + 2y) dx + (2x - y) dy = integral0^1 [3x(t) + 2y(t)] dxdt dt + [2x(t) - y(t)] dydt dt
Substituindo = integral0^1 [3t + 2t] cdot 1 , dt + [2t - t] cdot 1 , dt , , , e :

Passo 5

Simplificamos as expressões dentro da integral:
= integral0^1 (3t + 2t) dt + integral0^1 (2t - t) dt = integral0^1 5t , dt + integral0^1 t , dt
Agora, vamos calcular cada integral separadamente:
Primeira integral:
integral0^1 5t , dt = 5 cdot [ t^22 ]0^1 = 5 cdot ( 12 - 0 ) = 52
Segunda integral:
integral0^1 t , dt = [ t^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12

Resposta

Somando os resultados das integrais:
52 + 12 = 3
Então, o valor da integral de linha é 3.

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