Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
C é o segmento de reta de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral ao longo da curva , que é um segmento de reta de até . O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, onde a gente vai precisar parametrizar a curva e usar as fórmulas de cálculo de integrais sobre caminhos.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta de até , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A equação paramétrica fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a , que são necessárias para substituir e na integral:
Então,

Passo 4

Substituímos a parametrização na integral original:
Substituindo , , , e :

Passo 5

Simplificamos as expressões dentro da integral:
Agora, vamos calcular cada integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:

Resposta

Somando os resultados das integrais:
Então, o valor da integral de linha é 3.

Exercícios relacionados

Sejam uma constante e e . Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Confirme se é uma função potencial de .

Determine se a afirmação sobre o campo é verdadeira ou falsa.
Se estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
Sejam uma constante e e . Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.