Sejam k uma constante e F = F(x, y, z) e G = G(x, y, z). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
rot(k * F) = k * rot(F)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o rotacional (ou “rot”) de uma constante multiplicando um campo vetorial é igual a vezes o rotacional de . Ou seja, mostrar que:
Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com a operação do rotacional. Para resolver isso, vamos lembrar como o rotacional é definido e aplicar propriedades básicas das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é o rotacional de um campo vetorial. Para um campo vetorial , o rotacional é dado por:
Essa fórmula nos mostra como calcular o rotacional componente a componente usando derivadas parciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o rotacional ao campo vetorial , ou seja, multiplicar cada componente de por :
Vamos calcular o rotacional dessa nova função:

Passo 4

Observando as derivadas, como é uma constante, podemos fatorá-lo para fora das derivadas parciais:
Simplificando, fica:

Passo 5

Perceba que o que está dentro dos parênteses é exatamente o rotacional de :
Portanto, podemos escrever:

Resposta

Provar que está demonstrado conforme os passos acima.

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