Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o rotacional (ou “rot”) de uma constante
multiplicando um campo vetorial
é igual a
vezes o rotacional de
. Ou seja, mostrar que:
Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com a operação do rotacional. Para resolver isso, vamos lembrar como o rotacional é definido e aplicar propriedades básicas das derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é o rotacional de um campo vetorial. Para um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
Essa fórmula nos mostra como calcular o rotacional componente a componente usando derivadas parciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o rotacional ao campo vetorial
, ou seja, multiplicar cada componente de
por
:
Vamos calcular o rotacional dessa nova função:
Passo 4
Observando as derivadas, como
é uma constante, podemos fatorá-lo para fora das derivadas parciais:
Simplificando, fica:
Passo 5
Perceba que o que está dentro dos parênteses é exatamente o rotacional de
:
Portanto, podemos escrever:
Resposta
Provar que
está demonstrado conforme os passos acima.
Exercícios relacionados
Confirme se
é uma função potencial de
.
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
quando
.
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o segmento de reta de
até
.
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
Se estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
Se