Confirme se é uma função potencial de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente confirmar se a função é uma função potencial do campo vetorial . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de campos conservativos e funções potenciais. Vamos precisar usar derivadas parciais para verificar se é o gradiente de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Matemáticamente, .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Isso porque:
  • A derivada de em relação a é 0.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .

Passo 5

Comparando o gradiente de com o campo vetorial :
Como é exatamente igual a , concluímos que é, de fato, uma função potencial de .

Resposta

Sim, é uma função potencial do campo vetorial .

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação sobre o campo é verdadeira ou falsa.
quando .
Esboce o campo vetorial desenhando um diagrama.
Sejam uma constante e e . Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
C é o segmento de reta de até .