Confirme se phi é uma função potencial de F(r).
phi(x, y) = 2 y^2 + 3 x^2 y - x y^3
F(x, y) = (6xy - y^3)i + (4y + 3x^2 - 3xy^2)j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente confirmar se a função é uma função potencial do campo vetorial . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de campos conservativos e funções potenciais. Vamos precisar usar derivadas parciais para verificar se é o gradiente de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Matemáticamente, .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Isso porque:
  • A derivada de em relação a é 0.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .

Passo 5

Comparando o gradiente de com o campo vetorial :
Como é exatamente igual a , concluímos que é, de fato, uma função potencial de .

Resposta

Sim, é uma função potencial do campo vetorial .

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