Confirme se
é uma função potencial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente confirmar se a função
é uma função potencial do campo vetorial
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de campos conservativos e funções potenciais. Vamos precisar usar derivadas parciais para verificar se
é o gradiente de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Matemáticamente,
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque:
- A derivada de
em relação a é 0. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Passo 5
Comparando o gradiente de
com o campo vetorial
:
Como
é exatamente igual a
, concluímos que
é, de fato, uma função potencial de
.
Resposta
Sim,
é uma função potencial do campo vetorial
.
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
quando
.
Esboce o campo vetorial
desenhando um diagrama.
Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o segmento de reta de
até
.