Sejam uma constante e e . Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que a divergência de uma constante multiplicando um campo vetorial é igual à constante multiplicada pela divergência de . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre a propriedade linear da divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de divergência e aplicar as propriedades básicas de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. Para um campo vetorial , a divergência é dada por:
Isso basicamente mede o quanto um campo vetorial está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto.

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão , onde é uma constante. Primeiro, multiplicamos cada componente de por :

Passo 4

Aplicamos a definição de divergência a esse novo campo vetorial:

Passo 5

Como é uma constante, ele pode ser retirado das derivadas:

Passo 6

Agora, fatoramos o em evidência:

Passo 7

Observamos que a expressão dentro dos parênteses é exatamente a definição de . Então:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação sobre o campo é verdadeira ou falsa.
Se estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
C é o segmento de reta de até .
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva .