Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que a divergência de uma constante multiplicando um campo vetorial
é igual à constante multiplicada pela divergência de
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre a propriedade linear da divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de divergência e aplicar as propriedades básicas de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. Para um campo vetorial
, a divergência é dada por:
Isso basicamente mede o quanto um campo vetorial está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto.
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão
, onde
é uma constante. Primeiro, multiplicamos cada componente de
por
:
Passo 4
Aplicamos a definição de divergência a esse novo campo vetorial:
Passo 5
Como
é uma constante, ele pode ser retirado das derivadas:
Passo 6
Agora, fatoramos o
em evidência:
Passo 7
Observamos que a expressão dentro dos parênteses é exatamente a definição de
. Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
Se estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
Se
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o segmento de reta de
até
.
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva
.