Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de C,
integralC(3 x+2 y) d x+(2 x-y) d y
Cé a curva y=x^3 de (0,0) até (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo da curva , que é indo de até . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha, e para resolver, vamos precisar entender se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, podemos achar uma função potencial que facilita muito nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial. A integral que temos é:
integralC (3x + 2y),dx + (2x - y),dy
Aqui, podemos pensar no campo vetorial .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, comparamos as derivadas parciais cruzadas:
partialpartial y(3x + 2y) = 2 e partialpartial x(2x - y) = 2
Como essas derivadas são iguais, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que .

Passo 4

Vamos encontrar a função potencial partial Fpartial x = 3x + 2y . Sabemos que:
F(x, y) = 32x^2 + 2y x + g(y)
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar partial Fpartial y = 2x + g'(y) = 2x - y em relação a g'(y) = -y e igualar a segunda componente do campo vetorial:
g(y) = -12y^2 + C
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante, que podemos desconsiderar para a função potencial.

Passo 6

Assim, a função potencial completa é:
F(x, y) = 32x^2 + 2xy - 12y^2

Passo 7

Para calcular a integral de linha, basta avaliar integralC F cdot dr = F(1,1) - F(0,0) nos pontos finais da curva:
F(1,1) = 32(1)^2 + 2(1)(1) - 12(1)^2 = 32 + 2 - 12 = 3
Calculando :
E .

Resposta

A integral de linha vale .

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