Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
Cé a curva de até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo da curva , que é indo de até . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha, e para resolver, vamos precisar entender se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, podemos achar uma função potencial que facilita muito nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial. A integral que temos é:
Aqui, podemos pensar no campo vetorial .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, comparamos as derivadas parciais cruzadas:
Como essas derivadas são iguais, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que .

Passo 4

Vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a segunda componente do campo vetorial:
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante, que podemos desconsiderar para a função potencial.

Passo 6

Assim, a função potencial completa é:

Passo 7

Para calcular a integral de linha, basta avaliar nos pontos finais da curva:
Calculando :
E .

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
Confirme se é uma função potencial de .

Use uma integral de linha para calcular a área da superfície que se estende para cima da parábola , do plano ao plano .
Determine se a afirmação sobre o campo é verdadeira ou falsa.
Se estiver no eixo y positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo y negativo.