Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
Cé a curva
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo da curva
, que é
indo de
até
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha, e para resolver, vamos precisar entender se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, podemos achar uma função potencial que facilita muito nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial. A integral que temos é:
Aqui, podemos pensar no campo vetorial
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, comparamos as derivadas parciais cruzadas:
Como essas derivadas são iguais, o campo
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a segunda componente do campo vetorial:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante, que podemos desconsiderar para a função potencial.
Passo 6
Assim, a função potencial completa é:
Passo 7
Para calcular a integral de linha, basta avaliar
nos pontos finais da curva:
Calculando
:
E
.
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Confirme se
é uma função potencial de
.
Use uma integral de linha para calcular a área da superfície que se estende para cima da parábola
,
do plano
ao plano
.
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
Se estiver no eixo y positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo y negativo.
Se