Use uma integral de linha para calcular a área da superfície que se estende para cima da parábola , do plano ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que usar uma integral de linha para calcular a área de uma superfície que sobe a partir da parábola no intervalo de , indo do plano até o plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como usar integrais de linha para calcular áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície. Ela está acima da parábola e abaixo do plano . Para encontrar a área dessa superfície, precisamos parametrizar a curva que delimita essa região.

Passo 3

A curva de contorno está no plano e é dada por de a . No plano , cada ponto acima dessa curva terá a coordenada igual a .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva usando um parâmetro , onde varia de 0 a 2:
Aqui, , e porque estamos no plano .

Passo 5

Para usar a integral de linha, precisamos do vetor tangente à curva . Calculamos a derivada de :

Passo 6

A área da superfície pode ser calculada usando a integral de linha da forma:
Á
onde é um campo vetorial cuja rotacional é igual ao vetor normal à superfície.

Passo 7

Escolhemos tal que:
onde é o vetor normal à superfície. Para o plano , o vetor normal é .

Passo 8

Vamos escolher . Calculando a rotacional:
Notamos que precisamos ajustar para que . Para simplificar, vamos considerar outra abordagem usando parametrização direta da superfície.

Passo 9

Vamos parametrizar a superfície usando e como parâmetros. Mas como , a parametrização fica:
Com , então varia de 0 a quando vai de 0 a 2.

Passo 10

A área da superfície é dada por:
Á
onde e são as derivadas parciais da parametrização em relação a e .

Passo 11

Calculando as derivadas:
O produto vetorial é:
A magnitude desse vetor é:

Passo 12

Agora, a área fica:
Á
A região está delimitada por e de 0 a 2. Podemos integrar em relação a de a , e de 0 a 2.

Passo 13

Configurando a integral:
Á
Integrando em relação a :

Passo 14

Calculando a integral:
Então:
Á

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
Cé a curva de até .
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
Determine se a afirmação sobre o campo é verdadeira ou falsa.
Se estiver no eixo y positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo y negativo.
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
C é o arco parabólico de até .