Use uma integral de linha para calcular a área da superfície que se estende para cima da parábola
,
do plano
ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que usar uma integral de linha para calcular a área de uma superfície que sobe a partir da parábola
no intervalo de
, indo do plano
até o plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar integrais de linha para calcular áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície. Ela está acima da parábola
e abaixo do plano
. Para encontrar a área dessa superfície, precisamos parametrizar a curva que delimita essa região.
Passo 3
A curva de contorno está no plano
e é dada por
de
a
. No plano
, cada ponto acima dessa curva terá a coordenada
igual a
.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
usando um parâmetro
, onde
varia de 0 a 2:
Aqui,
,
e
porque estamos no plano
.
Passo 5
Para usar a integral de linha, precisamos do vetor tangente à curva
. Calculamos a derivada de
:
Passo 6
A área da superfície pode ser calculada usando a integral de linha da forma:
onde
é um campo vetorial cuja rotacional é igual ao vetor normal à superfície.
Passo 7
Escolhemos
tal que:
onde
é o vetor normal à superfície. Para o plano
, o vetor normal é
.
Passo 8
Vamos escolher
. Calculando a rotacional:
Notamos que precisamos ajustar
para que
. Para simplificar, vamos considerar outra abordagem usando parametrização direta da superfície.
Passo 9
Vamos parametrizar a superfície
usando
e
como parâmetros. Mas como
, a parametrização fica:
Com
, então
varia de 0 a
quando
vai de 0 a 2.
Passo 10
A área da superfície
é dada por:
onde
e
são as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
.
Passo 11
Calculando as derivadas:
O produto vetorial é:
A magnitude desse vetor é:
Passo 12
Agora, a área fica:
A região
está delimitada por
e
de 0 a 2. Podemos integrar em relação a
de
a
, e
de 0 a 2.
Passo 13
Configurando a integral:
Integrando em relação a
:
Passo 14
Calculando a integral:
Então:
Resposta
A área da superfície é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
Cé a curva
de
até
.
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
Se estiver no eixo y positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo y negativo.
Se
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o arco parabólico
de
até
.