Seja C a curva representada pelas equações
x=2 t, y=3 t^2 (0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de C.
integralC(x-y) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo da curva x = 2t, y = 3t^2 (0 <= t <= 1) definida pelas equações paramétricas:
Além disso, queremos calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha em cálculo, que nos permite somar funções ao longo de uma curva definida parametricamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar x = 2t e y = 3t^2 , dx = dxdt , dt = 2 , dt e em termos do parâmetro . Já sabemos que:
Para encontrar , derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos integralC (x - y) , dx = integralt=0^t=1 (2t - 3t^2) cdot 2 , dt , integral0^1 (4t - 6t^2) , dt e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 4t , dt - integral0^1 6t^2 , dt
Calculando cada integral:
integral 4t , dt = 2t^2 + C
integral 6t^2 , dt = 2t^3 + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
[2(1)^2] - [2(0)^2] - [2(1)^3] + [2(0)^3] = 2 - 0 - 2 + 0 = 0

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 0.

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