Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de C,
integralC(3 x+2 y) d x+(2 x-y) d y
C é o arco parabólico y=x^2 de (0,0) até (1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha ao longo da curva integralC (3x + 2y) , dx + (2x - y) , dy , que é o arco da parábola indo do ponto até . A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva .

Passo 2

Integral de Linha: É uma integral onde tanto a função quanto o caminho estão definidos no espaço. No nosso caso, temos uma função vetorial e queremos integrar essa função ao longo da curva .
Parametrização da Curva: Precisamos expressar e em termos de um parâmetro, geralmente , que varia de 0 a 1 para percorrer a curva de a .
Como , podemos escolher , então , onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Com a parametrização dxdt = 1 e dydt = 2t e , vamos calcular as derivadas em relação a :
Agora, substituímos , , e na integral original, transformando-a em uma integral comum de .

Passo 4

Substituindo na integral:
integralC (3x + 2y) , dx + (2x - y) , dy = integral0^1 [3t + 2t^2] cdot 1 , dt + [2t - t^2] cdot 2t , dt
Vamos simplificar essa expressão:
integral0^1 (3t + 2t^2) , dt + integral0^1 (4t^2 - 2t^3) , dt

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
integral0^1 (3t + 2t^2 + 4t^2 - 2t^3) , dt = integral0^1 (3t + 6t^2 - 2t^3) , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral 3t , dt = 32 t^2
integral 6t^2 , dt = 2t^3
integral -2t^3 , dt = -12 t^4
Então, a integral total é:
[ 32 t^2 + 2t^3 - 12 t^4 ]0^1

Passo 6

Agora, avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Para 32(1)^2 + 2(1)^3 - 12(1)^4 = 32 + 2 - 12 = 32 + 2 - 12 = 3 :
32(0)^2 + 2(0)^3 - 12(0)^4 = 0 + 0 - 0 = 0
Para 3 - 0 = 3 :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral de linha ao longo de é 3.

Exercícios relacionados