Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o arco parabólico
de
até
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha ao longo da curva
, que é o arco da parábola
indo do ponto
até
. A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva
.
Passo 2
Integral de Linha: É uma integral onde tanto a função quanto o caminho estão definidos no espaço. No nosso caso, temos uma função vetorial
e queremos integrar essa função ao longo da curva
.
Parametrização da Curva: Precisamos expressar
e
em termos de um parâmetro, geralmente
, que varia de 0 a 1 para percorrer a curva de
a
.
Como
, podemos escolher
, então
, onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Com a parametrização
e
, vamos calcular as derivadas em relação a
:
Agora, substituímos
,
,
e
na integral original, transformando-a em uma integral comum de
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, somamos as duas integrais:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral total é:
Passo 6
Agora, avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral de linha ao longo de
é 3.