Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
C é o arco parabólico de até .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha ao longo da curva , que é o arco da parábola indo do ponto até . A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva .

Passo 2

Integral de Linha: É uma integral onde tanto a função quanto o caminho estão definidos no espaço. No nosso caso, temos uma função vetorial e queremos integrar essa função ao longo da curva .
Parametrização da Curva: Precisamos expressar e em termos de um parâmetro, geralmente , que varia de 0 a 1 para percorrer a curva de a .
Como , podemos escolher , então , onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Com a parametrização e , vamos calcular as derivadas em relação a :
Agora, substituímos , , e na integral original, transformando-a em uma integral comum de .

Passo 4

Substituindo na integral:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral total é:

Passo 6

Agora, avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral de linha ao longo de é 3.

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